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整式P(x,y)について、
P(x,y)=P(y,x) が成り立つ物を特に対称式
P(x,y)=-P(y,x) が成り立つ物を特に交代式
と言います。
対称式は全て基本対称式
X=x+y,Y=xy
の和、積で表せ、
交代式は全て(x-y)で括れ、
他の項は対称式になります。
受験レベルでは
x=P(y)
y=P(x)
のような形で出てきたり(これは2式の和と差を作る)
図形や条件式に出てくることもしばしばあります。
x,yがそれぞれ実数値を取るとき、
XとYの関係は無限ではなく、tの二次方程式
t^2-Xt+Y=0
の2解の存在範囲に限られます(他に条件が存在するなら、結果として二次関数解析に帰着します)。
さて、本問は対称式ないし交代式を基本対称式で表すわけですが、(4)は正直あまり使わないというか…
まぁとりあえず。
x-1/xは交代式ですが、上記の定理を利用できません。しかし、x×1/x=1ですから、(x±1/x)^2は分かりやすい形に帰着しそうですね。
ここで、
(x-1/x)^2=x^2+(1/x)^2-2
となり、確かに対称式に帰着しましたね。
ここはよく出る範囲なので、しっかり学んでおきましょう。
何か質問があればお気軽に
ありがとうございました！！
理解出来てうれしかったです！