Question

最頻

この問題の(2)から分かりません。そもそも直和分解というものを具体的に示す方法も分かってません。だから解説をお願いします。

直和分解 直和 線形代数

Answer 1

gößt

もしかしたらもっといい方法があるかもしれませんが、とりあえず。

(2)まず、直和分解の定義から
線型空間Uとその部分空間V,Wに対して
U=V⊕W⇔「V∩W={0} かつ U=V+W」
です。つまり、任意のUのベクトルがVのベクトルとWのベクトルの和として一意に表せることを意味しています。これに基づいて証明します

Vの基底ベクトルvとWの基底ベクトルw₁, w₂を一組とります
このとき、任意の p∈ℝ³ に対して
p=av+bw₁+cw₂…(#)
がただ１つの解 (a,b,c) を持てばよいです。v,w₁,w₂ を横に並べた行列を
A=(v w₁ w₂)
とおいて列ベクトル ᵗ(a,b,c) をxとおけば、(#)は
Ax=p
となります。よってAが正則であることを示せばいいですね

(3)と(4)は大丈夫そうですか？

gößt

少し眠いためおかしなことを書いている可能性があります。ないことを祈りますが⋯

最頻

直和についてはなんとか分かった気がします。(2),(3),(4)も再チャレンジしてみたいと思います。

最頻

すいません。(3)の後半の規定を使った行列表現が分からないです…。(4)はUの元を仮定して、それらのTAによる変換がUの元の和で表されることを示して、それらがWの元と同値であることを示せば良いですよね？

最頻

(2)はできました。

gößt

(3)の基底は何をとりましたか？

(4)はどうするのかきちんと考えていないのですが、具体的にどう示そうとしているのですか？