✨ ベストアンサー ✨
コツは同じ数字をつくること、あとは計算を間違えないことですかねえ…
| a b 1 b |
| 1 a b b |
| b b a 1 |
| b 1 b a |
| a+2b+1 b 1 b |
＝| a+2b+1 a b b |
| a+2b+1 b a 1 |
| a+2b+1 1 b a |
| a+2b+1 b 1 b |
＝| 0 a-b b-1 0 |
| 0 0 a-1 1-b |
| 0 1-b b-1 a-b |
| a-b b-1 0 |
＝(a+2b+1)| 0 a-1 1-b |
| 1-b b-1 a-b |
| a-b a-1 0 |
＝(a+2b+1)| 0 a-1 1-b |
| 1-b 0 a-b |
| a-b 0 b-1 |
＝(a+2b+1)| 0 a-1 1-b |
| 1-b 0 a-b |
＝(a+2b+1)(a-1)| a-b b-1 |
| 1-b a-b |
＝(a+2b+1)(a-1){(a-b)²+(b-1)²}
＝(a+2b+1)(a-1)(a²+2b²-2ab-2b+1)
余因子展開で行列式を計算するときのコツは
①一つの行や列にできるだけ0をつくる
②(そのために)一つの行や列に同じ数やその定数倍をつくる
の２つが基本です
もちろん行列式計算でいつもこのようなことができるわけではありませんが、出題されるようなものは比較的楽に同じ数や0を並べられるようになってます。それを見つけるのはセンスというか経験が必要かもしれませんね
今回の問題では「各行の成分の和が等しいことに注意し」と書かれているため、このヒントにしたがって第2,3,4行を第1行に加えれば同じ数がつくれることが分かります(表記の都合で列の方を採用しましたが)。これで行列を4次→3次にできますね。このようなパターンの問題はけっこう多いですから、特に対称性のありそうな行列式を見たら各行の成分の和に注目してみようと思えるといいです
3次正方行列になったらサラスの公式を使ってもいいです。0の成分をできるだけつくっておいてサラスの公式を使えば、同じくらいの労力で答えが出せると思います
一般の行列式の計算は非常に複雑かつ面倒で、手計算でできるレベルの問題パターンは少ないです。何問かやってみると分かりますが、意外と解法は限られています
何回か練習してみます。ありがとうございます。
ありがとうございます。上の通りやってみたんですけど、何かセンスが必要なのかもしれないと感じてしまいました…