Question

ゲスト

教えて下さい

入門微分法 微分 物理学基礎

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

x=Ae^(-αt)cos(ωt+δ)
x'=A•(-α)e^(-αt)cos(ωt+δ)+Ae^(-αt){-ωcos(ωt+δ)}
=-αx-Aωe^(-αt)sin(ωt+δ)
よって、
Aωe^(-αt)sin(ωt+δ)=-x'-αx

x"=-αx'-Aω•(-α)e^(-αt)sin(ωt+δ)-Aωe^(-αt)•ωcos(ωt+δ)
=-αx'+α(-x'-αx)-ω²x
よって、
x"+2αx'+(α²+ω²)x=0

v_∞ と書くと煩雑なのでここでは V とします
x=h-(V²/g)log{cosh(g/V)t}
x'=-(V²/g)•{1/cosh(g/V)t}•(g/V)sinh(g/V)t
=-Vtanh(g/V)t
x"=-V•(g/V)[1/{cosh(g/V)t}²]
=-g[1-{tan(g/V)t}²]
=-g{1-(x'/-V)²}
よって、
x"-(g/V²)x+g=0

gößt

発想としては素朴に微分して似ている部分を消去すればいいです。双曲線関数に関する公式はガンガン使っていますのでご注意ください

ゲスト

ありがとうございました！

Answer 2

gößt

うーん…合成関数の公式は、一般的には
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)
という表示を用いて示すことが多いのですが…

少し厳密性を欠いた証明ですが以下のように示すことはできますね
(d/dt)(f(g(t))
=lim[x→t]{f(g(x))-f(g(t))}/(x-t)
=lim[x→t] [{f(g(x))-f(g(t))}/{g(x)-g(t)}
×{g(x)-g(t)}/(x-t)]
=lim[x→t]{f(g(x))-f(g(t))}/{g(x)-g(t)}
×lim[x→t]{g(x)-g(t)}/(x-t)
gは微分可能より連続なので、
y=g(x)
とおくと x→t のとき y→g(t)
よって、
(与式)
=lim[y→g(t)]{f(y)-f(g(t))}/{y-g(t)}
×lim[x→t]{g(x)-g(t)}/(x-t)
=f'(g(t))•g'(t)
=(dg/dt)•(df/dg)

この証明は途中で分母に g(x)-g(t) がきます。x=t の近くで g(x)-g(t)=0 になってしまうかもしれないので本当はまずいのですが、物理学の授業だったらこれくらいは許されるってことなのですかね…？