これだったら部分積分4回繰り返して(x-1)⁴を消す方が素直な気がするのですが、なんでこの問題はわざわざ積分漸化式に持ち込ませようとしているのか…
(1)
積分漸化式は大抵部分積分をすることで得られます
I[n]=∫(x-1)⁴(x+1)ⁿdx
I[n-1]=∫(x-1)⁴(x+1)ⁿ⁻¹dx
なので、(x+1)ⁿの方を微分する方向で考えましょう
I[n]＝∫[-1,1](x-1)⁴(x+1)ⁿdx
＝[(1/5)(x-1)⁵(x+1)ⁿ][-1,1]
－∫[-1,1](1/5)(x-1)⁵•n(x+1)ⁿ⁻¹dx
＝0－(n/5)∫[-1,1](x-1)(x-1)⁴(x+1)ⁿ⁻¹dx
＝-(n/5)∫[-1,1]{(x+1)-2}(x-1)⁴(x+1)ⁿ⁻¹dx
＝-(n/5){∫[-1,1](x-1)⁴(x+1)ⁿdx
－∫[-1,1]2•(x-1)⁴(x+1)ⁿ⁻¹dx
＝-(n/5)I[n]＋(2n/5)I[n-1]
よって、
(5+n)I[n]＝2nI[n-1]
I[n]＝{2n/(n+5)}I[n-1]
(2)はいいですかね
