Question

れもん

1番右の画像のように解いてはいけないのでしょうか？🙏
また、ダメな場合は理由を教えていただきたいです！
お願いいたします🙇‍♀️

nを自然数, iを虚数単位として,
(cos O+isine)" =cos no+isin no
が成り立つことを示せ.

(cos A+isinθ)" =cos no+isinno・・・・・・①
が成り立つことを数学的帰納法により示す。
[I] n=1のとき,
①の左辺と右辺はともに,
cos 0+ i sin 0
であるから, ① が成り立つ.
(S)
[II] n=kのとき,
①が成り立つと仮定する。このとき
(cos O+isin O)k+1
= (cos Otisinθ) (cos Otisinθ)
cos Ofisine) (cosko+isink0)
=(cos ko cos 0-sin ko sin 0)
+i (sink cos 0+cos ko sinθ)
=cos (k+1)0+isin (k+1)
となり,nk+1のときも成り立つの
よって、〔1〕,[II]より、すべての自
然数nについて ①が成り立つ.

(1)n=1のとき
n = lake (cos +ising) = cos.1.0
&
= cos. 1.0 + i sin 1.0
-
cosprising cos Grising
より n=1のとき成り立つ.
(ii) n=kが成り立つときη=k+1とすると、
(cos O + ising) k+1
(
k+l
(cor (4+1) + isin (141)0) = (cos +isin) **
0
k+1nks (cos + ising) n = (cos no + isiano)
よってηが自然数のとき(os+isin()"(conf+ising)
が成り立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

おはようございます。右の画像(ii)3行目の等式は、どうやって示したのでしょうか？2行目の等式にイコールがついておらず、宙ぶらりんになっていますが…

フラッグ

2行目の式に、でした。訂正しますm(_ _)m

れもん

回答ありがとうございます✨️
(ii)はこのように書きたかったのですが、書き間違えていました🙏
ド・モアブルの定理で成り立つと考えたのですが不十分になるでしょうか？
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

フラッグ

ド・モアブルの定理を証明するのにド・モアブルの定理を使ってはいけませんよ〜ただ、n=kのときド・モアブルの定理が成り立つと「仮定」して、n=k+1のときにも定理が成り立つことを「示す」のです。帰納法による証明では、「使っていいこと」と「示すこと」の区別が非常に大切です。言い忘れましたが、n=1のとき定理が成り立つことの証明にも間違いがあります。これも、示すべき定理を使ってしまっています。正しくは、左辺と右辺を別々に計算して、両者が一致することを示すのです。何か困ったことがあればお尋ねください。

れもん

理解できました！✨️
ありがとうございます🙇‍♀️！