Question

きいろ

組み合わせの質問です。このⅰ〜ⅲは数え上げるしかないんですか？数え間違いそうなので何か他に方法があるなら知りたいです。

第6章 場合の数
例題 177 三角形の個数 (1)
右の図のように4本の平行線と5本の平行線
が等間隔で交わっている. これらの交点を結ん
で三角形を作るとき,三角形はいくつできるか.
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考え方 交点の数は全部で, 4×5=20 (個) ある.
ここから3点選んで三角形を作るが,
そのとき、三角形ができない3点の組合
せがあることに注意する.
解答
交点の数は, 4×5=20 (個)
3点が一直線上に
ぶと三角形はできな
い。
4本の直線と5本
直線の交点
20C3=
このうち、3点を選ぶ選び方は,
20・19・18
3.2.1
=1140(通り)
ここで,
(i) 5 点がのる直線は4本
(ii) 4点がのる直線は 9 本
(1)3点がのる直線は8本
同一直線上に3点
あり,これらの同一直線上から3点を選んだ場合には三角
形ができない.
上の点が並ぶこと
あるかどうか調べて
いく.
注》 を参照)
(i)のときの3点の選び方は,
5C3×4=40 (通り)
(Ⅱ)のときの3点の選び方は,
( )のときの3点の選び方は,
4 C3×9=36 (通り)
3C3×8=8 (通り)
1140-(40+36+8)=1056 (個)
よって, 求める総数は,
注
もともとある直線以外にも3点が同一直線上に並ぶ場合があることに注意しよう。
練習
177 10本の直線のうち, 3本だけが平行である.
平面上に10本の直線があり,どの3本の直線も1点で交わることはない。
*** (1) 直線の交点の数を求めよ.
(2) 直線によってできる三角形の個数を求めよ.