Question

sari

下の写真のy=-x^(2/3)のグラフは、言われた時にパッと思い浮かぶようにするべきものなのでしょうか？それとも、出し方などありますか？

が関係するので少し工夫しなければなりません.
(2) x が十分0に近いとき
の大部分
を”が占めるので
たとえば x = 0.001 とおいて
みよ
f(x)=√x²=-x
とみてよいでしょう. したがって, y=f(x) の
グラフは原点付近で右図のような形をしています。
さらに,(1)から,このグラフは原点から遠ざかる
y=-x3
につれて、直線 y=x-1/23 に限りなく近づきます。
2つのことを合わせるとグラフの概形がわかります.
解答
0
XC

70 第2章 微分法とその応用
①
標問 27
漸近線のあるグラフ
B°
f(x)=ーとする。
(1) lim{f(x)(x+a)}=0を満たすαの値を求めよ. またこのとき、曲
線 y=f(x)と直線 y=x+αの交点の座標を求めよ。
(2) f(x)の増減と極値を調べて, y=f(x)のグラフをかけ.
(東北大)
精講
(1)が限りなく大きくなるとき, 解法のプロセス
曲線 y=f(z) が限りなく近づく直
線y=z+α (漸近線といいます)を求める問題で
グラフをかく
↓
す。
漸近線, 座標軸との交点対称
性などから大まかにとらえる
a= lim
x-x²-x)
としてαの値を決めればよいのですが, 右辺は
∞の不定形です。これを解消するには標間
15で学んだ通り有理化します.ただし,3乗根
が関係するので少し工夫しなければなりません.
(2) xが十分0に近いときーの大部分
をxが占めるので
f(x)=-x²=-x³
とみてよいでしょう, したがって, y=f(x) の
グラフは原点付近で右図のような形をしています.
さらに,(1)から,このグラフは原点から遠ざかる
につれて,直線 y=x-/1/3 に限りなく近づきます。
2つのことを合わせるとグラフの概形がわかります。
解答
増減 極値などを詳細に調べる
たとえば = 0.001 とおいて
みよ
y=-x³
0

Answer 1

和

まず偶関数なので左右対称なのはよいかと思います

x³やx²は下に凸(増加率増加)です
x¹は直線(増加率一定)です
x^(1/2)=√xは上に凸(増加率減少)です
（そもそも√xはx²(x≧0)の逆関数）

類推としてx^(2/3)は上に凸です
指数が1より大か小かによります

原点での接線(的なもの)も√xに準じてy軸です

よって、-x^(2/3)は下に凸だし単調減少です

慣れればそれなりにパッと、
あるいはそのうちに思い浮かびます
暗記ではありません