Question

文系

剰余の定理についての質問です。
（1）の解説内でR（x）を（x -3）でわった時の
わられる数をaｘ＋bとしているのに対して（写真二枚目）
（2）の解説内ではR（ x）を（ x -1）^2でわった時の
わられる数をaとしています（写真一枚目）。
（2）でaとするのは理解できるのですが、（1）でaｘ＋b
と指定できる理由が分かりません。
どなたか解説お願いします💦

(1) 整式P (xc) -1, x2, x-3でわったときの余りが、そ
れぞれ 6 14 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2) (x-3)で
わったときの余りを求めよ.
(2)整式P(x) (x-1)でわると,2x-1余り, x-2でわると
5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ。

注
25の考え方を利用すると, 次のような解谷ができます。
(別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(x)
P(x)はx-3でわると26余るので
R(x) もx-3でわると26余る
(R(x)は2次以下の整式)
よって、R(x)=(ax+b)(x-3)+26 とおける.
P(1)=6, P(2)=14 より R(1)=6, R(2)=14
<ポイント
ax+bはx-3で
わったときの商

28 *
-2a-2b+26=6
Ja+6-10=0
l2a+b-12=0
・a=2,b=8
よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x2+2x+2
45
RETS
(1)の解説
注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ
かります。
第2章
(2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR(x) (2次以下の整式) と
おくと, P(x)=(x-1)(x-2)Q(x) +R(x) と表せる.
(2)
ところが,P(x) は (x-1)2 でわると2x-1余るので,R(x) も
(x-1)2 でわると 2.x-1余る。 2
解
よって, R(x)=α(x-1)2+2x-1 とおける.
.. P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+α(x-1)2+2x-1
P(2) =5 だから, a+3=5
..a=2
よって, 求める余りは, 2(x-1)2+2x-1
すなわち, 2x2-2x+1
洗

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

本題の前に、AをPで割るとき、
A = P×Q +RのA,P,Q,Rはそれぞれ
割られる式、割る式、商、余りと呼びます

R(x)をx-3で割るなら、
R(x)は割られる式、x-3は割る式です
R(x) = (……)(x-3)+○なら「……」は商ということになります

本題です
R(x)は2次以下です

(1) 2次以下のR(x)を1次式x-3で割れば、商は1次以下です
R(x) = (商)×(x-3) +○と書けますが、
商が2次以上だと右辺が3次以上になり、
左辺が2次以下であることに矛盾するからです

(2) 2次以下のR(x)を2次式(x-1)²で割れば、
商は0次（0でない定数）です
R(x) = (商)×(x-1)² +○と書けますが、
商が1次以上だと右辺が3次以上になり、
左辺が2次以下であることに矛盾するからです

文系

丁寧な解説ありがとうございました！

Answer 2

シナプス

式の意味として、
𝑅(𝑥)は多項式𝑃(𝑥)を(𝑥-1)(𝑥-2)(𝑥-3)で割った時の余りです。
なので、定理通り𝑃(𝑥)= (𝑥-1)(𝑥-2)(𝑥-3)･𝑄(𝑥)+𝑅(𝑥)と表せます。
このとき、𝑅(𝑥)は3次式で割っている余りなので必ず２次式以下になります。
𝑅(3)=26 で余りが26になる。𝑥-3で割ると26余る、なので、余り＝定数項(26)という形にしたいです。
なので、𝑅(𝑥)=( )(𝑥-3)+26 と置くことで、(𝑥-3)で割った余りが定数項(26)になると表せることが出来ます。
このときに、𝑅(𝑥)は最大2次式である必要があるので、
(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥-3)とすることで、２次式にもなり、26を余りとして足せば、全体は２次式以下の式となるので、𝑎𝑥+𝑏と指定できます！

文系

ありがとうございました！