Question

海斗

左の写真の黄色チャートの問題ではKと aの値が出てからさらに場合分けをしているのに、右写真のフォーステでは場合分けをしていないのはなぜですか？

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重要 例題 43
虚数を係数とする 2次方程式
00000
xの方程式(1+i)x2+(k+i)x+3+3ki=0 が実数解をもつように,実数k
の値を定めよ。また,その実数解を求めよ。
CHART & SOLUTION
2次方程式の解の判別
判別式は係数が実数のときに限る
(C)
基本 38
2章
DOから求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。
実数解をαとすると (1 + i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
この左辺をa+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により
a=0,b=0α, kの連立方程式が得られる。
6
2次方程式の解と判別式
解答
(-8) S
方程式の実数解をα とすると
(1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
整理して
(a2+ka+3)+(a2+α+3k)i = 0
α, kは実数であるから, a2+kα+3,a2+α+3kも実数
①よって大]
a2+ka+3=0
......
①
a2+α+3k=0
②
①-② から
ゆえに
(k-1)a-3(k-1)=0
(k-1)(a-3)=0
よって
k=1 a=3&c 0=(-a)+x(E-
[1] k=1 のとき
① ② はともに α+α+3=0 となる。
これを満たす実数αは存在しないから, 不適。
[2] α=3 のとき
①,②はともに 12+3k=0 となる。
(
x=α を代入する。
a+bi=0 の形に整理。
この断り書きは重要。
素数の相等。
α 2 を消去。
消去すると
α-2α²-9=0 が得られ,
因数定理 (p.87 基本事項 2 )
を利用すれば解くことがで
きる。
←D=1°-4・1・3=-11 < 0
| 1:32+3k+3=0
②:32+3+3k=0
ゆえに k=-4
[1], [2] から 求めるkの値は
k=-4
実数解は
x=3

例題 10k は実数の定数とする。 方程式 x2+(k+2i)x+(3+6i) = 0 が実数解
をもつように, の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。
指針 係数が虚数である2次方程式の実数解。 実数解をαとし, 方程式をiについて整理す
る。
解答 方程式の実数解を x=α とすると
iについて整理すると
α2+(k+2i)α+ (3+6i) = 0
(a2+ka+3)+(2α+6)i = 0
a2+ka+3.2α+6は実数であるから
a2+ka +3=0, 2α+6=0
これを解いて α=-3, k=4
答 k= 4, 実数解は-3
注意 実数解をもつための必要十分条件として, D≧0 を利用するのは間違い。
判別式が使えるのは, 係数が実数のときに限る。
SO

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

左は「k=1またはα=3」なので、
k=1ならαは3とは限りません
α=3ならk=1とは限りません（実際このときk=-4）
k=1の場合とα=3の場合の両方を検討する必要があります

右は「α=-3かつk=4」なので、これがこのまま答えです

海斗

わかりました⭕️ありがとございます。