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重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) の軌跡
0000
|xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP」
点 Q を,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。
(A) OP・OQ=4
|点Pが直線x=1上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めて、図示せよ。 【類 大阪市
(B) Q は, 0 に関して Pと同じ側にある。
指針 求めるのは,点Pに連動して動く点Qの軌跡。
基本1
連動形の軌跡
つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く
P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P Qの関係は
点Qが半直線 OP 上にあるX=tx, Y=ty となる正の実数が存在する
このことと条件(A) から, tを消去して, X, Y を x, yの式で表す。 そして、点Pに関
する条件 X=1より, x,yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。
参
※質
点 Q の座標を (x, y) とし、点Pの座標を (X, Y) とする。
解答 Qは直線OP 上の点であるから
Q(x, y)
P(X, Y)
X=tx, Y=ty (t は実数)
√x2+y2(x)2+(ty)" =4
ただし,点Pは原点と異なるから t=0, (x, y) = (0, 0)
更に, (B) から, t> 0 である。
(A)から
4
ゆえに
t(x2+y2)=4
よって
t=-
かから
したがって X=-
4x
x2+y2,
Y=-
x²+ye
22を消去する。
(19)A
4x
(−1)=0
点Pは直線x=1上を動くから
x2+ye
=1(S)AX=1 に X=-
4x
x+y
ゆえに
x2+y2-4x=0
y
よって
(x-2)'+y2=4
0-(1-)+1
代入する。こう
したがって, 求める軌跡は
中心が点 (2,0), 半径が20円。
0
12
ただし, (x,y) ≠ (0, 0) である
から, 原点は除く。
-2-
☆注意 本間は、反転の
図示すると、 右図のようになる。(0) (=g=x
である。反転について
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