数学
高校生

121の別解の考え方がよく分かりません
なぜこのような作業をして求められるのでしょうか

基礎問 184 第7章 数 121 Σ記号を用いた和の計算(ⅣV) SK 一般項が an=n・2"-11, 2, 3. と表される数列{a, について S=a+a2+…+an とおく. このとき,S-2Sを計算 することによってSを求めよ. |精講 一般項が,(nの1次式) xyn+c (r≠1) という形をしている数列の 和の求め方は2つあります。 I. S-rS を計算すると,等比数列の和になって, Sを求めることができる rは,rn+c が等比数列で,その公比になります。 ( Ⅱ. 120の f(h)-f(k+1) (f(k+1)-f(k) でも
注 . S=ž k • 2"¯'— — (ƒ (k) — ƒ (k−1)) =(y(1)-S(0))+(/(2)-(1))+..+(n)-(n-1)) =f(n)-f(0)=(n-1)2"-(−1) =(n-1)2"+1 0175ANO D 2つの考え方を示しましたが、まずはIの方法を完全にマスター してください。その後,余力があればⅡも使えるように努力しましょ う。 ちなみに、入試問題の中に2を計算する必要性に迫られ る場面がでてくることもあります。(たいていは誘導がついています …… 興味のある人は, k2.2k-1=f(k+1f(k) となる f(k) を考えてみるとよいでしょう. (もちろん, (別解)と同じ ように,f(k)-f(k-1) でもよい) 答えは,f(k)=(2-4k+6) 2-1 とすれば, k2.2k-1=f(k+1)-f(k) とできます. また,この計算をIの方法でやろうとすれば,同じ作業を2回くり かえすことになります. ポイント 参考 演習問題 121 S=Σ(kの1次式pk+c (r≠1) は k=1 S-S を計算して、 等比数列の和を利用 指数のところが mk+c ならば, S-r"S を計算します。 次の和 S. Tをそれぞれ計算せよ. (1)S=1・2'+3・22+5・23+... +(2n-1)・2" (2) T=1・2'+2・23+3・2+... +n・22-1
S=n.2"-(1+2- 2"-1 =n.2n- 2-1 =(n-1)2"+1 (別解) f(k)=(ak+b)2k とおくと, ƒ(k−1)=(ak+b− a)2k−1 f(k)-f(k-1)=(ak+b)2- (ak+b-a)2-1 ={2(ak+b)−(ak+b−a)}2k−1 =(ak+b+a)2k-1 これが,k•2k-1 と一致するような a,b は a=1, b+a=0 kHtFDT, a=1, b=−1 参 演習 よって,f(k)=(k-1)2と定めると k.2f(k) f(k-1)

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