数学
高校生
解決済み

なぜ点(0,0)を中心とする円になるのですか?

基本 例題 166 放物線の頂点が描く曲線など 491 00000 (1) 放物線y=x2-2(t+1)x+22-tの頂点は, tの値が変化するとき どんな 曲線を描くか。 (2)=の間を点P(x, y)が動くとき,座標が (y-x, 2xy) で 19表される点Qはある円の周上を動く。 その円の中心の座標と半径を求めよ。 解答 指針 88A 260 p.488 基本事項 2 (1) まず, 放物線の方程式を基本形y=a(x-p)'+αに直す。 頂点の座標を (x,y) とすると,x=(tの式),y= (tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式)から変 数を消去して,x,yの関係式を導く。 (2)円の媒介変数表示 x=rcos 0, y=rsin0 を利用すると, 点Qの座標 (X, Y) も0で表される。 この媒介変数表示からX,Yの関係式を導く。 方がある。 CHART 媒介変数 消去して,x,yだけの式へ (1) y=x2-2(t+1)x+2t2-t ={x2-2(t+1)x+(t+1)^(t+1)^+22_003) Fa) ={x-(t+1)}'+t2-3t-1 (2000)x(ie 9 t=0 [=] よって, 放物線の頂点の座標を(x,y) とすると ①, y=t-3t-1・ e x=t+1 ...... ② ①から t=x-1の公式 これを②に代入して 左量よって 2006-)= tan y=(x-1)2-3(x-1)-1 y=x25x+3 2009(0) 243 -1- 0-3 13 y=x2-5x+3 4 章 2媒介変数表示 したがって,頂点は放物線y=x-5x+3を描く。 (2)x2+ye=re から, P(x, y) とすると tの値がすべての実数値を X.0 200- サイクx=rcos 0, y=rsin0 と表される。 Q(X, Y) とすると a) X=y²x²= r² (sin²0-cos²0) 200 るとき、モー(cos20-sin20)=cos2000mi D D とると,①のxの値もす べての実数値をとり頂点 は放物線y=x25x +3 全 体を動く。 Y=2xy=2rcose.rsin0=resin 20 X2+Y2=r*(cos'20+sin220)=r‘=(r2)2 よって ・位置 ゆえに点Qは点 (0, 0) を中心とする半径の円の にきたとき、Plex,y)とする 周上を動く。 参考 する。更に、 X, Y=Ocos A, -> 0口 sin△の形 sin △+cos △=1 の活 用を考えてみる。 のとき,点Pは円x2+y'="上を半周,点Qはx+y2=(r2)2上を1周 2πのとき,点Pは残りの半円上を動き,点Qは円上をもう1周する。 Aniacosx>00000 osino),y=a(1-cost) (Jすることはできない。 22>0 変化するとき,どんな

回答

✨ ベストアンサー ✨

具体的にどの部分が分からないのでしょうか?
部分的に理解できていないのか、解答の道筋から理解できていないのか、などです。
そこを教えていただけると、より詳しく説明できると思います。

さな

解答の道筋を解説してほしいです🙇‍♀️

HH

「円の中心の座標と半径を求めなさい」という問題ですが、普通は「点Qの軌跡を求めなさい」と書かれることが多いです。(この問題では親切に、軌跡が円になる、と教えてくれている、ということです。)

さて、本題に移りますね。点Qの座標を (X , Y) = (y^2-x^2 , 2xy) とします。(大文字,小文字は区別しています!)
ここで、「点Qの軌跡を求める」ことは「XとYの関係を求める」ことと同じです。そのためには、XとY、つまりy^2-x^2と2xyをそれぞれ1つの文字で表す必要があります。
次に、xとyの関係は「x^2+y^2=r^2」であるため、(x , y) = (rcosθ , rsinθ)と表せます。そうすると、x=rcosθとy=rsinθをy^2-x^2と2xyにそれぞれ代入することで、XとYを1つの文字(=θ)で表せます。
最後に、式変形をして、θを消去をします。そうすると、XとYのみが含まれた式が出てきて、「XとYの関係を求める」ことができます。

できたら、具体的な解答だけを見るだけでなく、根本的な解答の方針を理解することを意識してみてください。
分からないところあれば、また質問してくださいm(_ _)m

さな

理解できました!
丁寧に解説いただきありがとうございます!!

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