Question

Y

数学　数列　場合の数
⑶が分からないので教えていただきたいです。
⑵まではできました。

追記）
画像2枚目の赤線のところの式は、どこから出てきましたか？何を意味する式なのか分かりません…

n
J
例題16
クイズ大会を行った。 ○×で答えるものとし, 2問続けて間違った
ら失格とする。”問目で失格となる○×の出方の総数をamとする。
((1) 06, αを求めよ。
(2)1問目が◯で, 8問目で失格する場合は何通りか。 また1問目が×で
8問目で失格する場合は何通りか。
(3) α が満たす漸化式を作り, a を求めよ。
解答 (1) 65, a=8
(2) 1問目が○・・・8通り
1問目が×・・・5通り
(1+√5-(1-√5)
2
(3) an
=
2
√5
TT HJ!

(2) 1問目が正解で, 6問目以降が正解、不正解, 不正解となる。
2~5問目で不正解が隣り合わない場合は,(1)のa, に等しく8通り
ある。
1問目が不正解の場合, 2問目が必ず正解である。 よって, 3~5
問目で不正解が隣り合わない場合は5通りある。
(3) 1問目を正解か不正解か考えて、(2)と同様に,
an + 2 = an+1 + an
また,a=0, a2=1
特性方程式 xx-1=0の2解をα, β (α <β) とすると
1-√5
1+√5
a =
2
9
B
=
2
-
これを用いて an+2aa,+1= β(a+1 - αan)
これより an+1-αa= (a2-aa) βn-1=βn-1 ... ①
同じく an+2-Ban+1
Ban+1= α(a,+1-Ban)
これより
an+1-Ban = (a2-Ba) an-1=an-1
°
(2
①-②より (B-α)a=β"-1- αn-1
1-√5\n-1
1+√5\n-1 (1-5)
Bn-1 - an-1
2
2
..
an
=
B - a
√5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

aₙ₊₂の出方を求めたいとき、１問目が正解〇か不正解×で分けて出方の数を考える
１問目が〇の場合、
２問目は〇×どっちでもよい
　　→これはaₙ₊₁の出方と同じになる
１問目が×の場合、
２問目は〇でないといけない（失格して、n+2問目までいけない）
３問目は〇×どっちでもよい
　　→これはaₙの出方と同じになる
１問目が〇の場合と×の場合を合計すると、
aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙとなってることがわかる。
ーーーーー
aₙ₊₂の１問目と２問目だけみると以下の様になっています。
〇〇…（２問目以降はaₙ₊₁の出方で、aₙ₊₁の１問目が〇の場合）
〇×…（２問目以降はaₙ₊₁の出方で、aₙ₊₁の１問目が×の場合）
×〇…（３問目以降はaₙの出方)
ーーーーー
上記のが”１問目が正解か不正解かを考えて”の意味です。

Y

丁寧に教えていただきありがとうございます！