Question

まる

微分、2回微分をして増減表、グラフを書くところまではできたのですが、漸近線の求め方が全くわからないです。教えていただけると嬉しいです。

例題関数 y=e-2x2 の増減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフ
6
の概形をかけ。
解答 f(x)=e-2x2 とする。
f'(x)=-4xe-2
f(x)=-4{e_2x'+x(-4xe-2x)}=4(4x²-1)e-2x2
12
f'(x) =0 とするとx=0
f(x) = 0 とすると x=±-
12
f(x)の増減やグラフの凹凸は,次の表のようになる。
12
+
0
変曲点
ve
+
-
t
x
f'(x)
f"(x)
f(x)
******
+
+
0
******
****
0
-
-
-
大
1
また
limf(x) = 0, limf(x) = 0
X-80
であるから, x軸はこの曲線の
漸近線である。
以上から、この関数のグラフの
概形は、 右の図のようになる。
+
+
0
変曲点
Te
34
12
0
-12
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

増減表が完成した時点で、
たとえばx→∞（グラフの右の方）で
グラフがどうなっているかが気になります
（どうなっているか調べないとグラフは描けません）
x軸を1度だけまたいで下の方へ行くのか、
x軸に限りなく近づくのか、など調べます

y = e^(-2x²) = 1/ e^(2x²)
においてx→∞とすると、分子は1一定で、
分母は正のまま限りなく大きくなります
よって、分数全体は正から0に近づきます
グラフは上からx軸に近づきます

x→-∞も同様です

まる

ご丁寧に教えていただきありがとうございます。
limの下にx→∞となるときとx→(数字)になるときの違いはどこで判断したらよろしいでしょうか？

和

問題によります
この問題は上で述べた通り、
どう考えてもx→±∞の極限を考えます

たとえば1/(x-3)ならx=3で定義されないのだから
x→3での極限を調べるのは必然です

まる

理解出来ました。
ご丁寧に教えていただきありがとうございます。

Answer 2

ゲストあ

これは漸近線を求めているというよりは
右端と左端のグラフの形状を調べています！
これはそんなに難しくなくて、
x→±∞の極限を調べればいいだけです！

まる

理解出来ました。
ありがとうございます。