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方程式がどのような図形を表すかを求める問題ですね。これらの問題は、与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形することで解決できます。
■円の方程式の標準形
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
この式において、
(a, b) は円の中心座標
r は円の半径
を表します。
■解き方の手順
●x の項と y の項をそれぞれまとめる:
(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 16 = 0
●x の項、y の項をそれぞれ平方完成する:
(x^2 - 6x) = (x - 3)^2 - 9
(y^2 + 10y) = (y + 5)^2 - 25
●平方完成した式を元の方程式に代入し、整理する:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 16 = 0
(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 18
●標準形と比較し、円の中心と半径を求める:
中心: (3, -5)
半径: √18 = 3√2
したがって、(1) の方程式は、中心 (3, -5)、半径 3√2 の円を表します。
〜同様の手順で (2) も解いてみましょう〜
■解き方の手順
●x の項と y の項をそれぞれまとめる:
(x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 4 = 0
●x の項、y の項をそれぞれ平方完成する:
(x^2 - 4x) = (x - 2)^2 - 4
(y^2 - 6y) = (y - 3)^2 - 9
●平方完成した式を元の方程式に代入し、整理する:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 4 = 0
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9
●標準形と比較し、円の中心と半径を求める:
中心: (2, 3)
半径: √9 = 3
したがって、(2) の方程式は、中心 (2, 3)、半径 3 の円を表します。
■ポイント:
平方完成をマスターすることが重要です。
計算ミスに注意しましょう。
標準形と比較することで、円の中心と半径を簡単に求めることができます。
これらの手順を参考に、他の問題にも挑戦してみてください。
