Question

かんな

数Ⅱの条件つき等式の証明問題なのですが、
a＋b＋c＝0のとき、a³（b-c）+b³（c-a）+c³（a-b）＝0の等式が成り立つことを証明せよ。
という問題の解答をこのようにしたのですが、これは正しい証明でしょうか？ご指摘願います。

(1)(左辺)-(右辺)より
a3(b-c)+b3(c-a)+cla-b)=0
(a+b+c)(b-c+c-a+a-b)=0
(a² + b² + c³) = 0
a+b+c=0より(左辺)-(右辺)=0
よって
a³ (b-c) + b² ( c-a) + c³ (9-6)-0
3
c3la-b)=0

Answer 1

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提示された解答は、残念ながら正しい証明とは言えません。

■誤っている点
2行目から3行目への変形
　(a³ + b³ + c³)(b - c + c - a + a - b) = 0
とありますが、
　(b - c + c - a + a - b)
は常に0になるため、
　(a³ + b³ + c³)(0) = 0
となり、
　(a³ + b³ + c³) = 0
を導くことはできません。

■a + b + c = 0の利用
a + b + c = 0という条件が、証明の中で適切に利用されていません。

■正しい証明
正しい証明は、a + b + c = 0 という条件を代入して式を整理していく必要があります。

●c = -a - b を代入
与えられた条件 a + b + c = 0 より、c = -a - b と変形できます。
この式を、証明すべき等式に代入します。
　a³(b - (-a - b)) + b³((-a - b) - a) + (-a - b)³(a - b) = 0

●式を整理
　a³(a + 2b) + b³(-2a - b) - (a + b)³(a - b) = 0
　a⁴ + 2a³b - 2ab³ - b⁴ - (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a - b) = 0
　a⁴ + 2a³b - 2ab³ - b⁴ - (a⁴ - a³b + 3a³b - 3a²b² + 3a²b² - 3ab³ + ab³ - b⁴) = 0
　a⁴ + 2a³b - 2ab³ - b⁴ - a⁴ - 2a³b + 2ab³ + b⁴ = 0
　0 = 0

■結論:
左辺と右辺が一致したので、与えられた等式は成り立つ。

■ポイント
条件つき等式の証明では、条件式を代入して式を整理していくのが基本です。
因数分解を利用する場合もありますが、今回の問題では代入して整理する方がスムーズです。
提示された解答は、式の変形が誤っているため、正しい証明とは言えません。
上記のように、条件式を代入して式を整理していくことで、正しい証明ができます。