Question

理

数学の定積分の証明問題です。
写真2枚目の四角く囲った部分(「したがって、」から下)について。

四角く囲った中の右側のような、tとxを入れ替えている等式があるのですが、なぜこの変形が許されるのでしょうか？
問題の前半の流れから、この変形が許されるのがなんとなく違和感があります。
なぜこの変形をしても良いのか教えて頂きたいです！

274 定積分
|I
(1) f(x) を区間 0≦x≦1 で定義された連続関数とする。 次の等式が成り立つこと
を示せ。
Sexf (sinz) dr= "Sof(sinx)dx
2
(2)a>1 とする。(1)を用いて,定積分 (a2
x(a2-4cos'x) sinx
dx を求めよ。
a²-cos²x
(埼玉大)

274 APPROACH
(1)t=xと置換する。
(2) (1) を利用するために, f (x) を何とおけばよいかを考える。
解答 (1) t=πーx とおくと, dx=(-1)dt
x0→π
置換積分を行う。
t
→0
よって、
Cxf (sinx)dx
=(-t)f(sin(π-t))(-1)dt= (n-t)f(sint)dt
π
=xSof(sint) dt-Sotf (sint)dt
したがって
π
2xf(sinzdzxf (sinz)dr
π
ゆえにSxf (sinzdzSs (sinr)dr
← Soff(sint) dt
-rf (sin x) dr
=
=
(2)
==
10
x(a2-4cos2x) sinx_x{a²-4(1-sin'x)}sinx
a²-cos²x
2 Jo
より
a2-(1-sin2x)
←f(x) を何とおけばよいか
をみつける。
f(x)=
{a2-4(1-x2)}x
とおく。
a²-(1-x2)
a>1 であるから, 0≦x≦1 において f(x) は連続であ
るから,(1)により
π
π
Sorf (sinz) dr= "Sof(sin.r)dr
そのために, sinxに統一
する。
← ^>1より、分母は,
α-1+x>0である。
x) dx
π
π
=
2
EST (a
(a²-4 cos²x) sinx
dx
a²-cos²x
ここで,t=COs とおくと
XC
0→π
置換積分を行う。
dt=-sinxdx
t
1→-1

証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

変形というか、使う文字の種類を変えただけです
積分変数は定積分を実行すると消えてしまうので、
文字を変えても構いません

たとえば
∫ [0→1] 2x dx = [x²] = 1
∫ [0→1] 2t dt = [t²] = 1
同じです

理

ありがとうございます！