Question

@nana

この問題の解き方が分かりません
一次不定方程式とユーグリットの互除法を使うみたいです。

一次不定方程式 ユーグリットの互除法

Answer 1

赤城(◕ᴗ◕✿)🎀

⑴
61x+27y=1…①
を満たす整数x, yの組のひとつは(x, y)=(4, 9)
よって、①は
61×4＋27×9=1…②
と表せる。
①－②より
61(x-4)＋27(y-9)=0
∴61(x-4)=-27(y-9)…③
61と27は互いに素だから整数kを用いて
x-4=27k
と表せ、整理すると
x=27k＋4
と表せる。
これを③に代入すると
61(27k+4-4)=-27(y-9)
整理すると
y=-61k+9
⑵
ユークリッドの互除法により
27 = 19 × 1 + 8
19 = 8 × 2 + 3
8 = 3 × 2 + 2

2
= 8 - 3 × 2
= {8 - (19 - 8 × 2) × 2}
= 8 - 19 × 2 + 8 × 2 × 2
= 8 × 5 + 19 × (-2)
= (27 - 19 × 1) × 5 + 19 × (-2)
= 27 × 5 - 19 × 1 × 5 + 19 × (-2)
= 27 × 5 + 19 × (- 7)

よって、27ｘ+19ｙ＝２…①を満たす整数解の組のひとつは
(x, y)=(5, -7)
27×5+19×(-7)=2…②
①－②より
27(x-5)+19(y+7)=0
27と19は互いに素だから
x-5=19k、すなわちx=19k+5
y+7=27k、すなわちy=27k-7
と表せる。（k:整数）

sk

合同式を使ったやり方です。

sk

途中式でわからないところがありましたら解説します。