Question

高校生

(3)の問題を教えてください🙇‍♀️
場合分けが、なぜ解答のようになるのかがわからないです。

範囲で接するような直線の方程式を求めよ。
(3)aは 6≦a≦10 を満たす実数とする。 点 (x, y) が領域 D内を動くときの最小
値を とする。 αの値で場合分けをして, m を a を用いて表せ。
x-a
(配点 40 )

DE
(3)
☆ とおくと
xia
焼き
領域における最大・最小の問題
領域D内の点(x, y) に対して, x,
(xa)
直線⑧は点(α, 0) を通る傾きんの直線を表す。 この直線⑧が領域Dと共
有点をもつときの傾きの最小値を考える。
ここで、領域Dの境界線上の2点 (5,0), (4,3)をそれぞれ A, B とす
ると, 点B(4, 3) における円 C の接線の方程式は
を含む式の最大・最小を考えると
その式をとおいて,y=f(x)
の形に変形する。 これが表す図形と
Dが共有点をもちながら, kが変化
するときの最大・最小を考える。
4x+3y=25
これがx軸と交わる点のx座標
は, y = 0 より
C
B (4,3)
4x=25
x=
=2
25
-5
0
5/25
10
x
4
は領域D内の点(x,y)と点
(a, 0) を通る直線の傾きより、
T-5
が最小となる場合を次の2つの場
合に分けて考える。
25
is
αの値が 6≦a≦10 の範囲で変
化するとき,a=25 を境に,kか
最小となるような直線⑧と領域 1
の共有点の取り方が異なる。
a=
25
-25のときについては、行
直線 ⑧がDの境界線の弧ABに接
するときは最小となる。
⑧を①に代入して
x2+k^2(x-2)=25
(k+1)x²-2k2ax+k²a²-25=0
このxの2次方程式の判別式を
とすると
D₁ = (−k² a)³−(k²+1)(k² a²-25)
= ka²-(ka²-25k²+k² a²-25)
= (25-a²) k²+25
15 C
のどちらに含めてもよい。
B (4, 3)
25
a =
のときが最小となる
4
25
l
4
線⑧の方程式は4x+3y=25 であ
23
直線 ⑧が円 Cに接する条件は, D1 = 0 であるから
(25-a) k²+25=0
(a²-25) k² = 25
25
→
x
◆円と直線の方程式からyを消去
て得られるxの2次方程式を
ax2+bx+c=0
とし、その判別式をDとすると
D=62-4ac であり
円と直線が接する⇔D=
(1)を用い
また,626 のときは 1/2=が
を用いてもよい。
#A
≦a≦のとき250 であり,直線⑧が弧ABで接するとき
k < 0 であるから
k2=-
2525より
5
k=--
√a²-25
よってm=!
5
2-25

25
(ⅱ) as10のとき
直線がDの境界線上の点B
C
B (4, 3)
(4,3) を通るときは最小と
なる。
3
このときを
5 25
4
10
4-a
よってm=-
3
4-a
(
()より
6≦a≦2 のときm=-
5
√a² -25
a²-25
25
3
<as10のときm=
4
4-a
3
25
6≤a≤
のとき m=
4
5
a2-25
25
4
<a ≦10 のときm=
4-a
完答への
道のり
A 最小値を考える式をkとおいて,それを直線の方程式とみることができた。
B 場合分けの境目となるαの値を考えることができた。
Fαの値によって、2つの場合に分けることができた。
それぞれの場合について, kが最小となる場合を考えることができた。
EH それぞれの場合について,mをαを用いて表すことができた。
「6≦a≦ 2 のときの最小値を求める別解
⑧より kx-y-ka=0
直線⑧が円Cと接するとき,円Cの中心(原点)と直線の距離が,円
Cの半径5に等しいから
ことができた。
[k.0+(-1)0-kal=5
Ikal-5√k²+1
両辺とも0以上であるから2乗して
ko²=25(k2+1)
('-25)k=25(以下,本解と同じ)
点と直線の
点(x1,y1)
この距離をと
d=1000