Question

りんご

1枚目の解答で、どうして下端と上端を入れ替えて考えるのか、①・③・④はどうして正しくないのか、詳しく教えて頂きたいです。
回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

(2)
f(x)=x240=
=218/2 13:25 数学Ⅱ. 数学 B. 数学C
方程式 f(x) = 0 の 2 解をα,3(a <3) として,g(x) = f(t) dtとお
く。次の①~⑤のうち、正しいものは
ナ と =
である。
ナ
二 の解答群(解答の順序は問わない。)
⑩g(a)>g(0)
①g(3)>g(0)
②g(2)>g(0)
③g(a)<g(1)
④g(3) <g(1)
⑤g(2) <g(1)

(2) f(x) =0のとき, x=±
2
2/3
√√3
=土
であるから
3
2√3
2√3
α=-
B=
3
3
a O
B
ly=f(x)
α <1 <βであり,y=f(x) のグラフと直線などで囲ま
れる図形の面積を考える。
また,実数, gに対して
9(D)-g(g)=Sf(t)dt-S's()=S's() at
であることに注意して, ⑩~⑤ について考える。
⑩g(a)=f(t)dt, g(0) =0 であり,面積を考える
と, ∫{-f(t)}dt>0より Sof(t)dt>0
よって, は正しい。
①g(B)=f(t)dt, g(0)=0 であり,面積を考える
と, Sof(n)}ato より fff(t)dt<0
よって, ①は正しくない。
②g(0) 0 であり
(2) = √ ² (t² — } }) dt = [ { ² — } } ] = 0
=0
であるから,②は正しくない。
③g(a)-g(1) = ∫,"f(t) dt であり,面積を考えると,
f_s()}dt>0より fs (nd>0
よって, g(a) -g (1) > 0 であるから, ③は正しくない。
④g(8) -9(1)=f(t)at であり,面積を考えると,
S-f(t)}dt>0より [f(t)d<0
よって, g(B)-g(1) <0 であるから, ④は正しい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

tan_ⅰ

α=-2√3/3よりα＜0であることがわかっています。
一般的に、面積を求める時は ∫ [1,2]f(x)dx(1から2まで積分)のように、上端に大きい数を置いて計算します。ですがグラフからもわかる通り、aから0の間ではf(x)＜0であるので、∫ の中身は正にして計算するので、∫ [0,α]{-f(t)}dt(＞0)のようにおいています。ここで選択肢を見てみると、例えば0ではg(α)＞g(0)です。g(α)-g(0)=∫ [α,0]f(t)dtなので、∫ [0,α]{-f(t)}dtの上端と下端を入れ替えればg(α)＞g(0)が証明出来るよね、ってことです。

①は、g(β)＞g(0)
グラフをみればわかりますが、0＜x＜βの範囲ではf(x)＜0です。ですから、先程と同じように考えると上端には数の大きいβを置き、∫ の中身は正にして、∫ [β,0] {-f(t)}dt＞0
( ∫ の中身が正なので、β＞0からβを代入したものから0を代入したものを引いても正になります)
確かめたいのはg(β)-g(0)=∫ [β,0]f(t)dt＞0ですから、∫ [β,0] {-f(x)}dxを変形すると ∫ [β,0]{-f(t)}dt=-∫ [β,0]f(t)dt＞0となるので、∫ [β,0]f(t)dt＜0です。解説に則って考えましたが、この選択肢はグラフを見れば∫ [β,0]f(t)dt＜0がわかりますのでこんな計算はしなくても、パッと見てバツだと考えることもできます。

③α=-2√3/3＜1＜βで、α＜x＜βではf(x)＜0ですから、同様にα＜x＜1でもf(x)＜0です。
①と同じように考えると、∫ [1,α]{-f(t)}dt＞0
g(α)-g(1)=∫ [α,1]f(t)dtは、∫ [1,α]{-f(t)}dtを変形したものになるので∫ [α,1]f(t)dt＞0、よってg(α)＞g(1)

④は合っていますが、わからないのは②のほうでしょうか。一応、解説を載せておきます。これは③とは逆です。なぜかというと1＜βだからです。g(β)-g(1)=∫ [β,1]f(t)dtですが、βは1よりも大きく、1＜x＜βの範囲ではf(x)＜0なので、∫ [β,1]f(t)dt＜0だとわかります。(∫の中身が負のため)
③と同様に計算しても同じように証明ができます。

りんご

丁寧にありがとうございます！
しっかり読ませて頂きます🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

Answer 2

和

下端≦上端にすると、定積分の値と面積が一致して
見た目で正負や大小が判断できるからです

その上で解説をもう一度検討してください
解説は丁寧に書かれています
解説の何がわからないかを質問者側が説明すべきです

りんご

回答ありがとうございます。
もう一度検討します。