Question

みゃく

数学についての質問です。
漸化式の問題です
a₁=1/5
aₙ+₁=aₙ/4aₙ-1
の一般項を教えてください。求め方もよろしくお願いします🙇

漸化式 数学 高校生 数学ii

Answer 1

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tan_ⅰ

a(n+1)=a(n)/{4a(n)-1}
一般項を求めるときは、a(n+1)=〇a(n)+□の形にするのが1番楽です。でもこのままでは変形が難しいので、あえて逆数をとって考えます。
両辺の逆数をとって、
1/a(n+1)={4a(n)-1}/a(n)=-1/a(n)+4
1/a(n)=b(n)とすると(直さなくてもいいですが直した方がわかりやすいと思います)、
b(n+1)=-b(n)+4 ←数列{b(n)}は階差数列
特性方程式を用いて変形すると
b(n+1)-2=-{b(n)-2}
よって数列{b(n)-2}は初項b(1)-2={1/a(1)}-2=3、公比-1の等比数列であるので
b(n)-2=3×(-1)^(n-1)
b(n)=3×(-1)^(n-1)+2
1/a(n)=3×(-1)^(n-1)+2
a(n)=1/{3×(-1)^(n-1)+2}

みゃく

ありがとうございます！