Question

リグ

2009岡大
いくつか質問させてください。
・（1）の解答に対し、分母が0になるようなx（=±√(2+2√5）/2)が含まれていないことを確認する必要はないのか？
・（2）x=0 つまり初項が0の場合f(x)=0となり、lim h(x)=0になるが、それは考慮しないのか？
【追記】
二つ目の疑問については自己解決しました。極限を取るわけなので0に限りなく近づくわけだからxが0でないところで考えるのが妥当ですね。すみません。
よろしくお願いします。

3
x を実数とし、次の無限級数を考える。
x²
++
+
1+x2x4
x²
(1+x2-24)2
x²
(1 + x2 -x4)"-1
(1)この無限級数が収束するようなxの範囲を求めよ。
(2)この無限級数が収束するとき, その和として得られる x の関数を f(x) と書く。
また、
h(x) = f(V) - 11
とおく。 このとき, limh(x) を求めよ。
x0
h(x)-a
(3) (2) で求めた極限値をαとするとき, lim
は存在するか。 理由を付け
x0
x
て答えよ。

(1)
与式は初項 公比
1
1+x²-x'
の数列の無限級数である。 この無限級数が収束するのは、
この数列の(初項)=0, または |公比 | <1であればよいので
x2=0
⇒x=0
または
ここで
となり
1
x²-x4
<1
x²-x>0, x²-x+<-2
x²-x'>0
x^2(x-1)(x+1)<0
∴-1 <x<0,0<x<1
x²x² <-2
(x+1)(x-2)>0
となるので,
2.x
x <-√√2,-1<x< 0,0<x<1,√2 <x
となればよい。 以上より, xの範囲は
x<-√√2,-1<x<1,√√2 <x
となる。
(答) x <-√2,-1<x<1,√ <x

(2)
f(x)=
(3)
だから
2
1+x²-x*
1
1+x²-x+
===
1-x^
1+|x|-x2
h(x)=-
--|x| =
1-|×|
となるので、
limh(x)=1
となる。
0
h(x)-a
=
X
x
-1
|x|
=
x(1-x)
である。ここで
h(x)-a
h(x)-a
lim
-=1, lim
=-1
X
x
となり, x+0のときと, x0 のときの極限値が異なるので
h(x)-a
lim
は存在しない。
110
x
(答) limh(x)=1
スー
(答) 存在しない

無限等比級数 極限値

Answer 1

mi-

確かに分母が0になるようなxは考えたいところですが、分母が0に近づくと考えている公比の値は±∞になってしまうので、今考えたい(<1)ということと明らかに異なります。また、範囲を求めた後にその求めた範囲の中に分母が0となるようなxの値が入ってないことからもそのようなxについて別途書く必要がないのがわかります。