Question

淳華

解説お願いします。

写真の黄色マーカー部分についてです。
y=0以外に解が存在するのがよく分かりません。
図を見ても解はy=0だけのように見えます。
黄色マーカー部分はどこの解のことを指しているのか教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

国 111円に接する放物線
放物線y=
★★★☆
=1/2x1と円+(-a)=(a>0, r>0)②につ
いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め, r をαの式で表せ。
(1) 放物線 ①と円 ②が原点0で接し, かつほかに共有点をもたない
(2) 放物線 ①と円 ②が異なる2点で接する。
xについての4次方程式(別解1)
820
>0の解は
を消去
1, 2
次数が高い
を連立
yについての2次方程式(本解 )
xを消去
次数が低い
共有点2つに対応
対応を考える」
解は共有点のy座標を表す。
y=0の解は
図形は y 軸対称であり, 解と共有点
接点1つに対応
y▲
思考プロセス
の対応は右の図のようになる。
条件の言い換え
についての2次方程式が
(1)y≧0において,解が y=0 のみ
(2)y>0において, 重解をもつ
x
Action» 円と放物線の共有点は、連立して×を消去せよ 円
解 ①より, x=2y でありy≧0
6
x
② に代入すると 2y+(y-a)2=re
xを消去する。
y2+2(1-a)y + (d2-r2) = 0
③3
(1) 題意を満たすのは, ③が y = 0
を解にもち, y> 0 の範囲に解を
y = 0 しか解はない。
もたないときである。
共有点が原点のみである
から, y ≧0 においては,
また,このとき, グラフ
の対称性から, 原点で接
するといえる。
y = 0 が解であるから,
a-r2 = 0
a>0, r>0であるから r=a
このとき,③は
y2+2(1-α)y=0
y{y+2(1-a)}= 0
よって, ③のy = 0 以外の解は
y=2(α-1)
2(4-1)≦0 より 0<a≤1
したがって
0<a≦1,r = a
①
2 (α-1) が正であっては
いけない。
2(4-1)=0のときも含
まれることに注意する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

まず話の大前提としてはaとrがいろいろ変化することにより二次曲線と円の交点の数はいろいろ変化します。
(思考のプロセスの３種類の図面参照)
今、問題(1)では原点のみに唯一の共有点を持つ場合を考えています。
原点が唯一の共有点となるためには円の方程式と二次曲線の方程式を連立させてyに関する二次方程式を作ります。
そしてその二次方程式をyに関して解いたときに解は当然に２解あります。(虚数解や重解等も含めての意味で)
①y=0が解であること。
②他方の解が条件を満たさないこと
が必要になります。
ここでは二次方程式を解くとy=0,y=2(a-1)の２解が得られます。
y=2(a-1)>0であればy=0以外の２個目の共有点となってしまいます。
=0ならばy=0で重解となりOK。
だからこれが<0でなければならないわけです。
(二次曲線はy=1/2x²≧0より共有点が≦0はあり得ない。)

淳華

理解出来ました。
ありがとうございます！