✨ ベストアンサー ✨
どの積分にどの解法を使うのかはある程度の経験であって、微分みたいに頑張って手を動かせばいいというわけでもないので、そこが積分の難しいところだと思います。どのような変形をしたら積分できる形になるのか、置換積分するならどこを文字で置くのか、部分積分ならどちらを微分どちらを積分とみなすかというのはたくさん練習して慣れていくしかないと思います。
とはいえ、練習を積めで終わるのも味気ないので、いくつか例題を出して、方針を書きます。
（すべて不定積分）
①x²sinx
②log(x²-1)
③x√(x²+1)
④(x+2)/(x²+4x+5)
①は、x²に三角関数がくっついています。「x²が2回微分したら消えてくれそう、だからx²側を微分にして部分積分してみようかな。すると積分側はsinxになるけど、こいつは積分簡単だし、この方針でいけそうかな」って感じです。
②は見た瞬間に部分積分1択です。log単品は1×logとみなして、1を積分側にするというのが典型です。
③は、積の形だからと部分積分に飛びついてしまうとどちらか片方の次数が積分により上がり続けてしまうので永遠に解けません。x²+1を微分したら2xであることに着目して、置換積分です。なお、ある程度経験を積んでいたら俗に言う微分接触系なので、一瞬で終わります。
④も③同様、分母の2次式が微分で1次式になって、1次式である分子が置き換えられそうであることに着目すれば置換積分だと分かります。これも微分接触系です。
あと感覚的な話でいうと、面倒くさそうなところは置換しがちです。eの肩が複雑とか、logやルートの中身が複雑な形とか、そういうものは置換してみたらスッキリうまくいくことが多いです。逆に部分積分は、微分したらすぐ消えるxの1次式や2次式が掛けられている、あるいは何回積分しても形があまり変わらない指数関数や三角関数が積の形で掛けられていたら使ってみるといいかもしれないです。
めっちゃくちゃわかりやすいです。ありがとうございます
補足
③に関しては、次数が上がる云々というより、√x²+1の処理が面倒、という感じですね。微分に回してもルートが消えない、積分に回したら結局中身を置換することになるので、それなら始めから置換すればよくて本末転倒という感じです。