Question

月

数Ⅲの合成関数の問題です。2枚目写真の解説の赤線で引いた部分がどうやって条件を決めているのかよくわからないので教えて欲しいです。

□ 22 次の関数f(x), g(x) について, 合成関数 (gof) (x), (f°g)(x) をそれぞれ求
めよ。
(2) f(x)=2, g(x)=2x²+1
*(1) f(x)=2x+1, g(x)=x(x-1) (2) f(x)=
*(3) f(x)=2*, g(x)=log₁x
x-(x)-x-(x) = 25

10
-4STEP数学III
4a+b
よって
4-1=0
すなわち 4a+b=0
②
よって
1
4
① ② を解くと
a=-
b=
3
211 この関数の値域は
y>0
g(x) の値域は1以上の実数全体で,f(x)の定義
域に含まれる。
2
=
2x2+1
(f°g)(x)=f(g(x))=f(2x2+1)=
(3)f(x)の城は0より大きい実数全体で, g(x)
この定義域と同じである。
y=5* を xについて解くと
x=log5y (y>0)
よって (gof(x)=g(f(x))=g(2x)=log42*
よって、 逆関数は,x と y を入れ替えて
y=log5x
1
x
=xlog42=x..
10g24 2 81
+() er
y=
x≤
g(x) の値域は実数全体で, f(x)の定義域と同じ
である。
のグラフは右の図のよ
うになり、値域は
4
よって (f°g)(x)=f(g(x))=f(log』x)=2
olog4x
1/2sys
y=( 24 ) をxについて
10g2x
=210g24 = 210g2√x =√x
関数 g(x)の定義域はx>0であるから
1
17 (1) (fog)(x)=√x(x>0)
2
解くと
-1 0 1
.logaP
注意 a =QlogP=logQ
x=logy(12/24)
1.2
し
⇔P=Q
「+x
よって, 逆関数は,x と y を入れ替えて
y=10x (4)(0)
I+%
(3)y=log2(x-1)をxについて解くと
x-1=2y すなわち x=2+1
よって
23
よって, 逆関数は,x と y を入れ替えて
y=2x+1
(4) y=10g3x-2をxについて解くと
logsx=y+2
ゆえに
x=3y+2
よって、逆関数は,xとy を入れ替えて
y=3x+2
22 (1) f(x) の値域は実数全体で,g(x)の定義
域と同じである。
よって (gof(x)=g(f(x)) =g(2x+1)
よって (f°g)(x)=f(g(x))=f(x(x-1))
210g2√√x
1■指 針■■
[1] 合成関数(f°g)(x)の定義域
→g(x)の定義域と同じ
[2] 合成関数(f°g)(x) の値
(i) g(x) の値域とf(x)の定義域が同じとき
f(x) の値域と同じ
(ii) g(x) の値域がf(x)の定義域に含まれ、
同じではないとき
→
g(x) の値域におけるf(x) の値域
(1)g(x) の値域は1以上の実数全体で, f(x)の定
義域に含まれる。
よって, (f°g)(x)の定義域は実数全体
また,f(x)はxの係数が正の1次関数であり、
f (1) =-2 であるから, x≧1 における f(x) の値
域は
-21
よって, (f°g)(x) の値域はy≧-2
また, g(x) の値域は実数全体で,f(x)の定義域
と同じである。
よって, (f°g)(x)の定義域は
=(2x+1)(2x+1-1)
=4x²+2x=SA
OS
g(x) の値域は ・以上の実数全体で, f(x) の
定義域に含まれる。10 30-11-
(2) g(x)の定義域は x>0
=2x(x-1)+1=2x²-2x+1
x>0
(2) f(x) の値域は0でない実数全体で, g(x)の定
義域に含まれる。
2
また, f(x) の値域は y>0
よって, (f°g)(x)の値域は>0
注意 (2)において
よって (gof(x)=g(f(x))=g
x
(f°g)(x)=f(g(x))=f(logs2x)
=2(2)²+1=+1
= 310g32x=2x
ここで,関数 y=2x の定義域と値域はともに実
2

関数 合成関数 数ⅲ 数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

fやgの定義域、値域を求める方法を聞いていますか？
それとも、その後の話ですか？

月

質問が曖昧ですみません。定義域・値域を求める方法は、(1)のg(x)の値域の出し方が分からなくて、その後の話は分かりません。

和

聞かれていることに答えられているか、
わからなくなってきましたが、
大丈夫でしょうか？

定義域は、その関数が定義される限り広くとった範囲です
たとえば2/xだと、（分母が0になってはいけないので）
定義域は0以外のすべての実数です
たとえばlog₄xだと、（真数が0以下ではいけないので）
定義域は0より大きい実数です

値域はグラフを描けばわかるでしょう

月

理解できました。教えてくれてありがとうございます。