Question

よあこひ

クについて、解答の、鉛筆で付け足したように2kπがついて、結局打ち消し合うのでは？と思うのですが、どうして解答のように残るのでしょうか
解答の理解ができません
教えてください🙇‍♀️

数学II, 数学 B 数学 C
[2], gを実数とする。 xの2次方程式 xpx+g = 0 は虚数解α, β をもつとす
ある。 ただし, αの虚部は正であり,βの虚部は負であるとする。
pg は カを満たす。
αを極形式で表して
a=r(coso+isine)(x>0,0<<π)
とする。 このとき,β=
キ
表
と表せる。
5
08<πの範囲において,d=β° が成り立つような日はク
個ある。
以下,d=ρが成り立つとする。複素数平面上で α,β,2の表す点をそれぞれ
A,B,C とするとき,点Cが線分ABの中点となるような実数 g の組は
23
コサ
(p, q)= ケ
ケ
セ
"
65
2
である。これらは カ
を満たす。
*3=9,0=
=
2
の解答群
Op2-49-4q=0
①
p²-4q<0
キ
の解答群
⑩r{cos(-6)+isin (-9)}
② 1 {cos(-8)+isin(-9)}
① r(cos20+isin20)
③1 (cos20+isin20)

q<0
①
を満たす.
式は
① のとき, 方程式(*) の二つの虚数解 α, βは互いに共役な複素数
であるから, β=α である. よって, αを極形式で表して
a=r(cos0+isine) (r>0,00<z)
とすると
B=r{cos(-8)+isin (-9)}
と表せる.
+2k
ド・モアブルの定理より
DO AO
D=0€
a°=r(cos604isin60),
B°=r{cos(-60)+isin(-60)}
である. よって, α = β が成り立つとき,偏角を比較すると,0は
60=(-60)+2k (kは整数)
うちけしあって
45-
三えるのでは?
D<0
|a|=
B = a
ド
z=
N
m

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲストC

αの6乗は偏角が6θであって、6θ➕2nπではありません。
理由は次の通り、
αを問題のように原点からの距離rと偏角θで定めたとき
αの6乗は（ド・モアブルより）原点からの距離がrの6乗で偏角が6θのただ一点を表します。
あなたのやったように偏角に2nπを加えてしまうとαの12乗は原点からの距離がrの6乗で偏角が12θの点となります。それは誤りですよね。
まとめると2kπは入りません。
そして複素数の掛け算α✖️βはαで表される点をβの複素数の偏角分回転して絶対値をかけた点を表すことをしっかりと理解してください。ですから、αを6回かけてもある一点を表すに過ぎないのです。（2kπのような一般角を表す要素はない）

よあこひ

すみません再度質問失礼します

偏角に2nπを加えてしまうとαの12乗は原点からの距離がrの6乗で偏角が12θの点となります。それは誤りですよね。
←この一文が分からないのと、
解答の最後の2kπの出てくる理由が分かりません

ゲストC

そこの部分はわかりやすく説明するために書いたので意味が伝わらなかったのであればフル無視で大丈夫です。
次に、2kπの質問にノートで回答しておきました。
勉強ファイト、ノート書くの大変だったのでしっかり見てわからないとこは聞いて欲しいです。

よあこひ

なるほど！！
虚数解が出てきた時に、共役の複素数になるのは知っていましたが、理由までは知りませんでした！
また、詳しい式変形まで教えていただき、ありがとうございました！
次の問題も分かりやすく教えていただき、ありがとうございました！
よく分かりました！