Question

ゆる

サがなぜ①になるのかわかりません。
どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

第3問 (必答問題)(配点 22)
a b を実数の定数とする。 f(x)=x+ax+bとし,Dを
D=-403-2762
と定める。 方程式f(x)=0の解とDの関係について考えよう。
3x2+a:0判別式Dとすると
0:02.4.3.a=-12a
(1) f(x) の導関数をf'(x)とすると
D>0より、-12a70
f'(x) = 72x²a Da²-4.3
aco
であるから, 方程式f'(x)=0について
異なる二つの実数解をもつための必要十分条件は
3x²+0>0, 32> a
重解を一つもつための必要十分条件は
実数解をもたないための必要十分条件は
EVENEN
(aco)
ウ (0:0)
(a>0)
である。
イ
~ エ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。 )
⑩ a² -46 > 0
③
a> o
⑥b>0
①d2-46 = 0
④
a = 0
⑦ 6=0
② a²-46 < 0
a<0
⑧ b<0
(数学Ⅱ 第3問は次ページに続く。)

f(x)=3x²+ a
f(x)=3(XP)(ズーム)
f(x)=x3+ax+b
x
ako
8/78
f(x)
t
0
→
f(x)
-
&
0
(i) イ のとき,f'(x)=0の異なる二つの実数解をp, q (p <g) とおくと,
x=P&
f(x)はx=p
オ をとり、x=gズカ
をとる。
オ
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⑩ 極小値
① 最小値
負の値
極大値
④ 最大値
このとき
x=P.&はf(x)=0より、
a
3
⑤正の値
P3= (-)3= ()
f(P)f(b)=(p3tPath) (93+qa+b)
-a
-a
p = -
9 =
キ
43
PB= (-5)3= (-)(-J
であるから,f(p)f(g) をDを用いて表すと
f(p)f(g)
D
クゲ
-27
(Jai)
2
()() ()
a
-a
―どうしの+
である。
ara
a=0
(ii)
2)=x3+ Ax+h
ウ のとき,方程式 f(x)=0の解について調べると, 方程式 f(x) = 0
b=0
=D+1=0
がx=0である重解のみをもつための必要十分条件は
であり、方程式
0
f(x)=lが一つの実数解と異なる二つの虚数解をもつための必要十分条件は
15サである。
コ
サ
⑩ b=0
③b<0
(p3apa+b)(B3+ba+b)
D=a-4.1.b=a-4b
DEOより、-4D0a=0より、-40.b
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
①60
④60
b>0
(5) 6≤0
(数学Ⅱ 第3問は次ページに続く。)
a
-a
{a())
{+
(+) (+)
4
こ
数Ⅱ ①-11-
the
a²+b²
t
403+2702
-403-27/2
-D
27
27
27

(ii) a=0のとき,f(x)=x+bであるから, 方程式 f(x) =0について, x=0
である重解のみをもつための必要十分条件は
b=0
➡ O
実数解一つと異なる二つの虚数解をもつための必要十分条件は,y=f(x) の
グラフがx軸と接することはなく, x軸とただ一つの交点をもつときである
から
b = 0
(a>0 のとき つねに
f'(x) = 3x2+a>0
①
であるから, f(x) は増加関数であり,y=f(x) のグラフはx軸と接するこ
とはなく、x軸とただ一つの交点をもつ。 よって, 方程式f(x)=0は,一つ
の実数解と異なる二つの虚数解をもつ。
(2) D>0のとき
D=-43-2762 > 0
③
-4a³ > 2762
であるから, a< 0 である。 (1)よりf'(x) =0が異なる二つの実数解 pg をも
f(pf(g) < 0 であるから, f(x) = 0 は,異なる三つの実数解をもつ。
27620より
-4a³ > 0
a<0 P
➡ O
200
D<0 のとき, a < 0 であれば, f (p)f(g)>0より
極大値と極小値は同符号
a = 0 であれば
b=0
a > 0 であれば
つねにf'(x)>0
で、いずれの場合も、一つの実数解と異なる二つの虚数解をもつ。
②

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

a=0の条件のもとなので、
f(x)＝x³+b
つまり、
x³+b＝0　におけるxの解が1つの実数解と2つの虚数解を持つ必要があります。
x³＝-b　より、
b＝0だと、x³＝0となり、解はx＝0しかありませんのでダメ。

結論から言うと、bは正にしても負にしても0以外なら、実数解が1つ、虚数解が2つあります。
例えばb=8のとき、
x³＝-8　→　x³+8＝0
→　(x+2)(x²-2x+2)＝0
→　x＝-2　1±i
b＝-8のとき、
x³＝8　→　x³-8＝0
→　(x-2)(x²+2x+2)＝0
→　x＝2、-1±i
こんなように、実数1つと虚数2つが出てきます。

というわけで、xが実数1つと虚数2つ出てくるためには、b≠0であればいいことになります。

ゆる

教えてくださりありがとうございました🙇‍♀️
きらうるさんの説明とてもわかりやすくて納得できました！！考え方も書いてくださりありがとうございました🙇‍♀️理解しやすかったです！！本当にありがとうございました😊