Question

riii

式と曲線です
(2)から何をやっているのかあまり分かりません💦
式の通りに変形するのはできるのですが、C2とC'2がの関係が全く分かりません。図を書いていただけるなら書いて頂きたいです。
(3)の第1象限において一致する、というのもわかりません。

分かりにくい点があったら教えてください🙏
よろしくお願いします🙇‍♀️

111
目標解答時間
12分
90 60
1
2+cos0
座標平面上に曲線 C1, C2 がある。 原点0を極, x軸の正の部分を始線とする極座標 (r, 0) につい
... ①,r=2+cos0 ・・・・・・ ②と表される。 ただし、
iとC2の方程式はそれぞれr=
0202とする。
C を直交座標(x, y) についての方程式で表すことを考える。
9の値によらず、3+cos00であり,r>0である。 したがって ①は2r+rcos0=1 と変形
でき,r=
ア
イ
rcosoイであるから, 2 =1である。
] の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⑩x
①y
② x2+ye
よって, 方程式
1x2+1 I
y²+
x+ye
4x'+4y=-200+1
オ lx=1...... ①'が得られる。 ①'の表す 2次曲線は
楕円であり,この楕円上のすべての点(x, y) に対して, ① が成り立ち、かつr> 0から得られる条
件イ
<1も成り立つ。 よって, ①' は C と一致する。
(2)C2 を直交座標 (x, y) についての方程式で表すことを考える。
②の両辺を倍すると, 2
カ である。さらに,この式の両辺を 2乗すると
逆が成り立つ
4x48=
472600
②②
x+y^2x3-3x2-4y2+2x2y2-2xy=0 ...... ②'
である。
②x+y+y
③x2+y-y
カの解答群
⑩x+y+x ①x2+y^-x
また,C2 と ②'の表す曲線 C2' について
キ
キの解答群
⑩ C2 と C'は一致する
①C2にのみ含まれる点があり,C2' にのみ含まれる点はない
② Cź'にのみ含まれる点があり,C2にのみ含まれる点はない
③C2にのみ含まれる点と C にのみ含まれる点がともにある
3 C と C'は第1象限において一致する。 直線 y=x と2曲線
x+yi2x33x24y2+2xy2-2xy2=0,
ウ
エ y²+ オ
] x=1の第1象限における
交点をそれぞれ A,B とすると, 線分ABの長さは!
クケ +
コ
サ
である。(配点 10)
シス
(公式・解法集 131
回
回

(2)極方程式 = 2+cos0 ②の両辺を倍すると
r2=2r+rcoso
カ
2r=r-rcosa=x2+y^-x ( ① )
さらに、この式の両辺を2乗すると
A
x+y^-2x-3x²-4y2+2xy2-2xy2 = 0 ...... ②'
②を満たす点は②'を満たしている。
また、②'の表す図形は点 (0, 0) を通る。
B
B
しかし、②において-1≦cos≧1であるから r=0 となることはない。
よって, C' にのみ含まれる点があり,C2 にのみ含まれる点はない(②)。2
②' は x=y=0 を代入すると成
り
り立つ。
Point
(3)2+cos0⇔r=2+cosbr>0
⇔ (2+cose-r) (2-cos+r)=0,r> 0⇔4=(r-cose),r>0
⇒4r2=(re-rcose),r>0
より,C2はC2'′ から原点を除いた図形である。 Point
よって C2 と C2' は第1象限において一致する。
C
直交座標による方程式 y=x を極方程式で表すと 07
π
4
であ
よって, 点Aの極座標は 2
るから,極方程式 r = 2+cos と連立してr=2+cos
/4+√2 π
4+2
=
4
2
4
1
また,極方程式 ①と③を連立してr=
2+cos 2+
π
1
√√2
よって,点Bの極座標は (4-7)
(4-√2
コ サ
したがって、線分ABの長さは4+√24-72
20+9√2
シス
2
14
Point
C
C2′ にのみ含まれる点は, 第1象
限にはないから,点Aの極座標
は②と③を連立した方程式の解
である。
4-√2
D
2曲線の方程式に y=x を代入
し、点A, B の x 座標を求めると
それぞれ
両辺を2乗したり、両辺にrを掛けたりする変形に際して,同値性が
保たれないことがある。 必要条件にすぎない変形を行うと,もとの曲
線に含まれない点が入ってくることに注意しよう。
- 201
x=
1+2√2x=-1+2√2
2
7
これより
AB
=√2 (1+2/2-1+2√2)
7
20+9/2
14
と求めてもよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まろん

極方程式の同値変形について解説を載せました。これが理解できれば納得するはず。

riii

遅くなりすみません💦
めんどくさい問題にも関わらず丁寧に回答して下さり本当にありがとうございます🙇‍♀️とても分かりやすいです！

-1≦cos≦-1 より r＞0というのがわかりません、、
教えて欲しいです…🙌

まろん

−1≦cosθ≦1より、2を足すと、
1≦2＋cosθ≦3
1≦r≦3
よって、r＞0とわかります。

riii

なるほど、分かりました！！
丁寧にありがとうございます🙇‍♀️