数であり, iを虚数単位として,
z=1のときw=2i,
xhxz=2のときw=2+2i
であるとする.
(1) 複素数α β の値を求めよ.
(2) 複素数平面上において、点が実軸上を動
くとき, 点wが描く軌跡を図示せ
(3) 複素数平面上において、 点が実軸の0以
上の部分を動くとき, 点wが描く軌跡を C,
点 (1+i)w が描く軌跡を C2 とし, C と C2
を合わせたものをCとする. C が囲む部分の
面積を求めよ.
【配点】
(1) 10点.
(2) 15点.
(3) 15点
2
2(1+i)
=1+i.
1-i 12+(-1)^
したがって, ① より
B=2i.(i)=2
1 * は次式のようになる.
2z
Ow==
z-(1+i)
これをzについて解くと,
to
2(1+i) D
w=2+
z-(1+i)
2(1+i)
w-2=-
(≠0).
2-(1+i)
ここで実軸
鋼の間(1+1)=2(1+i)
条件より2
w-2
より、
w-2
PAC (j) (S))
立=
(1+i)w(w-2)
Iw-212
z=(1+i)+
分母,分子にw-2=w-2を掛けると、これを展開
(1+i)(12-2)思いつかな
w-212
2 (1+i) (1+i)w
(+)w
=
w-2
W-2 w
《設問別学力要素》
03
よって, w=x+yi (x, y は実数) とおくと、
大問
分野 内容
15 複素数平面
配点 小問
配点
知識
技能
思考力
判断力
表現力
2=
40点(1)
10
(2)
15
O
(3)
15
O
○
出題のねらい
複素数平面上の軌跡の求め方について,除外点
や軌跡の範囲の処理なども含めて理解している
か,また,複素数の積の図形的意味を理解してい
るかを確認する問題である.
解答
Bz
w=
za
... (*)
(1) (*) について与えられた条件から, α≠1,2
(1+i){(x2+y2)-2(x+yi)}
(x-2)2+y2
x+y²-2x+2y+x+y²-2x-2yi
(x-2)2+y2
(x-2)2+y^
したがって,点が実軸上に存在する条件
x2+y²-2x-2y=0 かつ (x-2)^+y'≠0
(x-1)2+(y-1)²=2
(x,y) ≠(2,0).
③
(よって、 求める軌跡は点1+iを中心とする
半径√2の円から,点2を除いたものであり、
これを図示すると次図の太線部分 (白丸を除く)
のようになる.
が必要であり、
| 2i =
1-a
2β
2+21=
2-a
これより,
JB=2i(1-α),平
B=(1+i)(2-a). 2
① ② からβ を消去すると,
2i(1-a)=(1+i)(2-a). S
(1-i)α=2.
よって、
さ
-42-
2
1
→x
0
1
2
(3)点zが実軸の0以上の部分に存在する条件
は,
「③かつx2+y^2-2x+2y ≧0」 ... ④
である.ここで, ③において
ご軸上の
11 2 ==
W-
展開
かない
すなわち
(S)
(x-1)²+(y-1)²=2,
x²+ y²-2x=2y
が成り立つことに注意すると,④は
③かつ≧0
?
と表せる.
次に, v = (1+iw とし, 複素数平面上で
0,w, ひが表す点を順に 0, PQ とすると,
v=w-√2(cos +isin)
(cosaisin
より,OQはOPを2倍して回転した
z=1のとき w=2i,
z=2のとき w=2+2i
を代入すれば, α, β についての連立方程式が得ら
れるので,それを解けばよい. 係数が複素数である
ためやや煩雑に見えるが, 連立方程式の原則どお
り 1文字(例えば β) を消去すればよい。
なお, α, β の値は後の設問でも使うので, なる
べくきれいな形にすべきである。 具体的には分母の
実数化をしておく。
ささ
一般に,虚数を分母にもつ分数の分母を実数
化するには分母, 分子に を掛けるが, それによ
ベクトルである。
したがって, 0 を中心として, C を√2倍
に拡大して回転した図形が C2 である.
以上より, Cは次図の太線部分(白丸を除
く)であり, Cが囲む部分は次図の網掛け部分
となる.
C2
30 (0 <)!=x
N
040
A
-C1
1
1
M
-x
C を含む円の中心を M, C2 を含む円の中
心を N, 2+2iの表す点を A とすると, M は
線分 OA 上にあり, ∠ONA は直角であるか
ら、求める面積をSとすると,
S= (扇形 NAO) +△OAN- (扇形 MAO)
N
A.
A
N
A
M
0
Y
のように分母が2になることを理解しておくと,
計算が手早くできる。このことは、解答の (2)
でも用いている.
(2) wの軌跡を求めるのであるから, wの方程式を
作るのが目標となる。(+1)=
そのためには, w 以外の変数(つまり)を消去
することになる.
したがって、まずzをwで表して,これを
が満たすべき条件」 と照らし合わせることになる。
なお,wx+yi (x, yは実数)とおけば, 複素
数平面上の点w が xy 平面上の点(x, y) と対
するため、数学Ⅱの 「図形と方程式」 の知識を活
できる.さらに, (3) では不等式を扱うことになる
後述のように, 複素数を含む不等式の扱いは、慣
ていないとかなりの困難をともなうので,この問
については w= x + yi とおくのが有効である.
ただ,いきなり z=s+ti, w=x+yi とおい
しまうと、文字が一気に4つとなり煩雑である
解答では 「z を w で表す」こと を
すwの式の「分母の実数化」 まではwのまま
ている。また、次の事柄を用いると, w=x+y
代入した後の計算を少し簡略化できることがある
w=x+yi (x,yは実数) のとき,
解説
O
3
1
2.+-2-2-(√2)*.*
=2+2.
x=
w+w
2
y=-
w-w
2i
1wp2=
=ww
・共役複素数と実部・虚部 絶対値･･･
これらは,
+(+1)
w+w=2x, w-w=2yi,
ww=x2+y2=|w|2
となることからわかる.
(1) w=
Bzに対して与えられた条件
解答では、
z-α
分かりやすく教えてくださりありがとうございます！！