✨ ベストアンサー ✨
>おおよそ大小に当たりがついていないと3の1/3乗と5の1/5乗を比較する必要が出てくると思う
まったくその通りです
>どうして調べていないのか
調べた経過は答案に書く必要がないからです
書かなくても、この模範解答で完結しているからです
ただ、参考書・問題集として
補足してほしいという要望は理解できます
>簡易に大小の当たりをつける術があるのであれば教えていただきたいです。
楽な一般論はないと思います
この問題ではたとえば
2^(1/2) < 3^(1/3)がわかったあと、
暗算ででも15乗してみると(3^(1/3))¹⁵ = 3⁵ = 243、
(5^(1/5))¹⁵ = 5³ = 125だから
5^(1/5) < 3^(1/3)であり、
このあと答案に書くべきは
2^(1/2)と5^(1/5)の比較、とわかります
最初から3数の大小を知りたければ30乗することになりますが、
2¹⁵、3¹⁰、5⁶の比較になり、これはこれで面倒です
常用対数の値を覚えていればlogをとって
(log₁₀2)/2、(log₁₀3)/3、(log₁₀5)/5の値を
比べるのもありかと思います
他にも
2^(1/2) =√2 ≒ 1.41なので
(1.41)³と(3^(1/3))³=3、
(1.41)⁵と(5^(1/5))⁵=5の大小を比べるとかですかね
数Ⅲがわかればx^(1/x)のグラフを描くとか…
なるほど、御回答ありがとうございます！
概算値を利用する方法もあるのですね。様々な解答方法を具体的に提示していただけてとても腑に落ちるとともに視野が広がりました。