Question

ONCE

なぜ、写真の２枚目の赤いマーカーの部分のような関係式になるのかが分かりません。写真の1枚目は問題です。

237(1)定積分 Sofpdt
dt を求めよ。
1+12
(2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。
[09 埼玉大 ]

1-1であるから
したがって
a=1+(1-1)cos0
=(1-1)(2+sin0)
'+'=(1+(1-1)cos02+(1-1)(2+sin0)?
=12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0
+(1-1)(4+4sin0 + sin 20 )
=125(1-1)2+2(1-tcos0
+4(1-1)²sin 0
=22sin-cos0 +3) 2
24sin-cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20として, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は, 半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
V==√ "'RS²dt = { ' (a² + ß³)dt
xf {22sincoso+3)2
18
中
24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt
2sincos0 +3) ー(4sincoso+5)+(4sin0 +5)
fasi
4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin+15)
=(4sin 6
24sin+cos0 +6)
(3)(2)から
ただし
V=
'=mg(√17 sin(0 + A) +6)
sinA=-
1
=* cos A=-
=
14
え方
√17 CASP
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
よって
1+12
ゆえに
12
Jo 1+1
+
1tan cos'0
-S [ローテ
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
x2+y'log2-log(1+27)
do
...... ①
①を満たす実数x, yが存在するための条件は
log2log(1+z)20
すなわち log(1+2) ≤ log2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-1
口を表す関係式は
1)で切ったときの切り
arty log2-log(1+14), z=1
ゆえに、切り口の面積をS(f) とすると
S(t) == (log2-log(1+1))
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
v=25's(r)dt
V=
== 2 (10g2-log(1+1))dt
=2m[tlog2]-2=[log(1+19)]。
土・
+2x+12 d
21
12
dt
=2mlog2-2xlog2+4xo1fades
=4x
A
-dt
よって、体積Vの最大値は
6+.
-π, 最小値は
3
6-√17
= 4√ √ 1 + 120
ーである。
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=14−8)
237 体積
238 体積
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をの関数を表す。
出題テーマと考え方
1003
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
(2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をもの
関数で表す。
12
(1)
dt=
1+12
Sar=[-1
t=tano (002) とおくと
1
dt=
-do
COS20
(1) 平面 x=uで考えると,
右の図のようになる。
2
(x=N)
点0'(1, 0, 0)から線分
1
t 0→1
PQ までの距離を1とし
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
Q
0
←0
44
P
0
# 1
y
1-u2
2
よって l="√1-u2+トーリー

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

らい

①の方程式のzをz=tで固定して円の内部の面積として見るためです