Question

tan_ⅰ

(3)の別解の解き方を教えてください。
(基本的な解法はsinx=tと置換しています)
お願いします

93 対数
次の定積分の値を求めよ.
(1) L
Le
log dr
Se
(2) Horlogr
dx
xl x
π
2
IC
(3) cos.log (sinx)dx
4
精講
対数関数のゴチャゴチャ型です (97 も同じような形を
対数関数の積分では, 置換積分と部分積分(84と85)
なポイントです. 着眼点は92 の横にあることす
1
(logx)'= がかけてあれば
JC
1311
部

=1 (log 1-1)-
√2
2
(log √2-1)
√2
√2
√2
=
-1+
log-
2
2
-1+
√2
2
2
√2
+ -log2
√2
1
log
=log
2
√2
=log2=-log 2
π
2
(別解)
cos x log (sin x) dx = √(sin x)' log (sin x) dr
sina log (sin x) - Sin
-[sin.r (log (sin x)-1)]--1-√2 (log√2-1)
==
[sin a log (sinx)]
- sing. The gis xdx
4
=-
4
√2
=1+1+1log2
4
ポイント
1
は, とおく
ff(logr). dr (d, log.r=t<
X

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

logxの積分です。
sinx＝tとおくと
∫t'・logt・dt
＝[t・logt]-∫t・1/t・dt
＝[t・logt]-[t]
＝[t・(logt-1)］
tをもどして、
＝[sinx・ (log(sinx)-1)]
となります。

tan_ⅰ

∫logxdx=x(logx-1)を利用しただけだったんですね。理解出来ました！ありがとうございます

Answer 2

鯛のお造り

簡単に言えばtで置かず、sinxのままやっているだけです

F(x)の微分がf(x)のとき、合成関数F(g(x))の微分は
　{F(g(x))}’ = F’(g(x))･g’(x) = f(g(x))･g’(x)
なので、これを両辺積分して、
　F(g(x)) + C = ∫ f(g(x))･g’(x)dx　(C:積分定数)

つまり、合成関数f(g(x))に、中身の微分g’(x)が掛けられた関数 f(g(x))･g’(x) を積分するときは、f(g(x))の外側の関数fを積分すればよいことになります

　∫ logxdx = xlogx−x+C
なので、x→sinxとして、
　∫ log(sinx)･(sinx)’ dx = (sinx)log(sinx)−sinx+C

tan_ⅰ

わかりやすい説明ありがとうございます！