Question

らりるれろ

数C、式と曲線の問題です。
双曲線x²-3y²=3 直線y＝x＋kが異なる2点Q､Rでまじわるとする。
(1)定数kの値の範囲を求めよ。
(2)線分QRの中点Pの軌跡を求めよ。

という問題についてです。
(2)での下の線で引いた、kを消去すると、ｙ＝1/3x
となるのが意味がわかりません。教えてください🙏

256 (1) x²-3y²=3
y=x+k
②①に代入すると
整理すると
①
x2-3(x+k)2=3
2x2+6kx+3k²+3= 0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
=(3k)² -2(3k²+3)=3(k²-2)
双曲線と直線 ② が異なる2点で交わるのは、
D0 のときである。
k220を解いて
k<-√2, √2<k
(2)2つの方程式から, y を消去すると, (1) より
2x2+6kx+3k2+3= 0
③
点Q,Rのx座標をそれぞれ X1, x2 とすると
X1, X2は2次方程式 ③の異なる2つの実数解で
ある。
Sat
Pは線分 QR の中点であるから,その座標を
(x, y) とすると
x1+x2
x=-
,
y=x+k
2
③において,解と係数の関係により
6k
x+x2=- =-3k
2
x+x2
y=x+k=3
よって
x=
-3k
3
=
=-
2
k
-k
2
2
k
k+k=-
2
2
._1
x
これらから を消去すると
3
また、
x=-
x<
(1)から
3
9
3
y=
<x
2
B'

よって、点Pは、直線y=1/2xの
3
√2' √√2
<xの部分にある。
逆に、この図形上のすべての点P(x, y) は, 条
件を満たす。
したがって、求める軌跡は合
直線y=1/2xx<--
3 3 3」
<xの部分
√2
√2

数c 式と曲線 軌跡 双曲線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

平面上の曲線はxとyの
直接的な関係式で表すのが基本です
y=2xとか、x²+y²=1とか…

今回は、xがkを使って表され、
yがkを使って表されています
xとyの間にkが間接的に入っている形です

このkを消すことで、最初に述べた、
xとyの直接の関係を表す式にできます
これが求められているものです

x=-(3/2)kからk=-(2/3)xで、これを
y=-(1/2)kに代入してkを消すと
y=-(1/2)×(-(2/3)x) = (1/3)xです

らりるれろ

なるほどです！！！！
x=-(3/2)kを変形して、y＝x＋kに代入したんですね！！！ありがとうございました！！！！！