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おそらく以下のような感じで解くものと思います。
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３次関数の１つの解は必ず実数解（３次関数のグラフをイメージする）。
他の２つの解が実数解とすると、複素数平面上で三角形はできない（複素数平面をイメージする）。
他の２つの解が虚数解であれば、その２つの解は共役であるので、複素数平面上の３点は必ず二等辺三角形になる（複素数平面をイメージする）。
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虚数解を持つには、極小値＞0または極大値<0であればよい（３次関数のグラフをイメージする）。
y=x³-2x²-4x+k
y'=3x²-4x-4=(3x+2)(x-2) ⇒ 極小値はx=2のときy=k-8、極大値はx=-2/3のとき、y=k+40/27
k-8>0またはk+40/27<0であればよいので、
⇒k>8またはk<-40/27
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k>8のθの範囲を確認する
・k=8のときy=x³-2x²-4x+8=(x-2)²(x+2)…このときはθ=0
・1つの実数解をαとしたとき、y=(x-α){x²+(α-2)x+α(α-2)-4}
虚数解の実数部分は-(α-2)/2、純虚数部分は√(3α²-4α-20)・i
α(k)→無限大とすると、√(3α²-4α-20)/(α+(α-2)/2)→√3/3に近づく…x:y=√3:1 → π/6
β・γは上下に点があるので、 0<θ<π/3
k<-2/3のθの範囲は、k>8と同様の結果が得られる（三角形は逆向きだけど）
⇒0<θ<π/3
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図がなくて、分かりにくくてごめんなさい。
（必要あれば図を作成して画像添付します）
訂正と画像添付します。
・純虚数部分（虚部）は√(3α²-4α-20)・i／2です。（2で割る表示を忘れてました）
・正しくは、実数部分→実部、純虚数部分→虚部です。
すみません。