Question

高校生

155(1)の解答の〔2〕の微分の仕方が全くわからないです

□ 154 次の等式が成り立つことを証明せよ。 ただし, a.
*(1) y=aekx+be-kx のときy"=ky
(2)y=asinkx+bcoskx のときy" =-ky
155 次の等式を, 数学的帰納法によって証明せよ。
Cos(x+1/77)
dn
dxn
COS x = COS x+
n
π
(2)
dn
dxn lo
2
□ 156 関数 v
1
B Clear

*Y
154 (1) y'=akekx-bke
よって
y"=kakekx+bke-kx)
=kaekx+be-kx)
したがって
y" = k²y
(2) y'=akcos kx - bksin kx
= k(acos kx-bsin kx)
logx
域は
よって
72
(x)</
から
y"=k-aksinkx-bkcoskx)
=-k2(asinkx+bcoskx)
したがって”=-ky
d" sx=cos(x
155 (1)
dxn
る。
-COSx = COS x+
[1] n=1のとき
n
①とす
よっ
[1], [2
成り立
注意
156 1
d
左辺 =
であるから
dx
-cosx=−sin x
nie
T
右辺 = COS x+
==
sinx
2
よって, n=1のとき, ①は成り立つ。
10
[
12x²-30x,
[2] n=kのとき ①が成り立つと仮定すると
dk
k
-COS x=cOS x+
・π
dxk
2
②
n=k+1のとき, ①の左辺について考えると,
②から
dk+1
COSX=
dxk+1
- Cosx= cos x)
d dk
・COS
dxdxk
てもよい。
=
これです!
d
dx
cosx+
k
―π
2
y

===
=-sin(x+
2
に
= cos(x++)
2
k+1
= cos(x+
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1] [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。
よっ
[1], [2] から,
成り立つ。
したがって
d"
(2)
logx=(-1)*-1 (n-1)!
① とする。
dx
**
157(1) y2=1
Sy
[1] n=1のとき
左辺 = 11logx=12,右辺 =(-1)°.01_1
よって, yキ(
x
x
よって, n=1のとき, ①は成り立つ。
(2) 4x2+y2=
[2] n=kのとき ①が成り立つと仮定すると
dz
dxslog x=(-1)*-1(k-1)!
xk
*****
②
n=k+1のとき,①の左辺について考えると,
dk+1
(10g)
dx dxk
d
②から
dxk+1
-logx =
d
=
dx
log x *
1)*-1 (k−1)!
=(-1) -1(k-1)!(
xk
k
xk+1
8
よって, yキ
y²
(3)
4
11-191
よって, y
(4) xy=1の
bl

Answer 1

ブドウくん

2階微分しろと言われたら、1回微分したあと、再度微分しますよね。それと同じで、cosxのk+1回微分は、cosxの1回微分とcosxのk回微分に分けて考えることができます。cosxのk回微分は数学的帰納法の仮定によりcos(x+kπ/2)なので、cosxのk+1回微分は、cos(x+kπ/2)の1回微分であると考えられます。あとは、cosの微分で-sinになって、中身の微分が1なので-sin(x+kπ/2)となります。そして、仮定で置いた形に変形したいので、sinをcosに変換しています。