Question

おにぎり

(１)二枚目の増減表のまるで囲んだ＋－はどうやって分かるのか
(２)3枚目のまるで囲んだ2つの式がよくかりません。2つ目のp＝1/nの式は勝手にこのように置いていいのかが分かりません。
よく出てくる等号が成立する時の条件って必要ですか？

20. 0<p<1と001,<πを満たすと 01,02 に関して,不等式
psin 01 + (1-p)sin O2≦sin{p01+(1-p)02}
(2)
が成り立つことを示せ.
2以上の自然数nと001,02, ..., On<πに対して,不等式
sin O1+sinO2+... + sinOn
≤sin (01-
101+O2+…+On
n
(S)
n
が成り立つことを証明せよ.
((C)
(3)定円に内接するn角形が円の中心を内部に含んでいるとする.このよう
なn角形のうちで,面積が最大であるものは,正n角形であることを証
(大せよ.
26.
(福井医科
「あること

20.
【解答】
(1)0<x<πにおいて,関数
F(x)=sin{px+(1-p)02}-psinr(1-p)sin Oz
02
を考えると,
F'(x)=p[cos{px+(1-p)02}-cosx].
IC
ここで 0<x<π において COS は減少関数であることより,
(0)
02
(π)
F'(x)
0
+
F(x)
したがって,
F(x)≧F(02)=0.

液学的
32
かsinQ1+(1-p)sin O2 ≦sin{p01+(1-1)02})
は示されて,等号は 01=02 のときに限り成立する。
(2) n=2のとき,
対して,
0<P1, P2, Pn, Þ₁+2+...+pn=1
pisin Ossin (p.0)
i=1
41-2
が成立する (等号は01=02=...=0のときに限り成立)ことを数学的帰
納法で示す .
n=2のときは (1) で示した.
PitPcpn=k(22)のときに②が成立すると仮定する。このとき,わけに
/k+1
p1
p2
k+1
• D₁_0₁ + $² 0₂) + 2 0:0. }.
sing, Pasinda sin (p.0.)=sin(p₁+ D2)(D
= sin(pio,+P202))
p1+p2
p1+ p2
(+2)+ps+…+P+1=1であるから仮定より,
/k+1
sin(p.0) ≧ (pi+pasin
Pi+ p2
k+1
i=3
To
0₁+
D1 + D202) +
Pisin 0,
左辺
右辺
≧(pi+p2)
+ D2){-
p1
sin O1+
p1+ p2
D2
i=3
22}+
k+1
D1 + D2 Sin 02} + Disin 0.
02+pi 0;
k+1
=2pisin Oi.
等号は
p1
-0₁+·
p2
pi+p2 p1+ p2
02=03=...=Ok+1 かつ 01=02
すなわち 0102=...=Ok+1 のときに限り成立する. したがって②は示さ
れた. ②において
-(+)1
pi=
b=1m (i=1,2,...,n)
n
とすれば
sin 01+sin 02+...+sin On
01+02+..+On
....③
≦sin
n
n
を得る.