Question

moon

（２）の問題なんですけど、N=p^14またはp^2q^4
の形でなければならない、という所から分かりません！誰か解説してくだされば幸いです、宜しくお願い致します🙇

98
360の正の約数の個数を求めよ。
の倍数Nで正の約数が15個であるものをすべて求めよ。
108n が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。
ポイント
(2) 15=3×5 なので,Nの素因数分解は または pの形になります。
Y
(3)108nが自然数であるとは, 108nが平方数 (自然数の2乗) になるとい
ことです。 そのためには, 108ηの素因数分解において,各素因数が偶数個
なるようにします。
<例> 6°=(23)=2'3', 12°=(223)'=2'3'<
解答
(1) 素因数分解すると, 360 = 2°･3･5'
よって,
(3+1) (2+1) (1+1) = 24 (1)
左ページの公式
(2)正の約数が15個であるから, Nの素因数分解は
N=p またはpid"
平方数は
各素因数が
偶数個
の形でなければならない。 また, N6 (23) の倍数より N2
素因数にもたなければならない。
したがって, N = p"の形にはなりえないので
N = p²q¹
の形である。 よって,
N = 2.3, 3.24
pg) = (23) または (3,2)
= 324, 144
(3) 108 が平方数となればよい。 素因数分解すると, 108=223
よって, 108nが平方数になるためには
n=3X (平方数)←
このとき
でなければならない。
108n=22.3 × (平方数)
なので, 108nは平方数
したがって,求める最小の自然数nは
n = 3
2は偶数 3は奇
パターン98 約数と倍数①

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(1)がわかっているなら(2)もわかるはず

ある自然数がpᵐqⁿ (m,nは1,2,3,…)
と素因数分解されるなら、
その正の約数の個数は(m+1)(n+1)個です
たとえばp²q⁴と素因数分解されるなら、
その正の約数の個数は3×5=15個です

pⁿ (nは1,2,3,…)と素因数分解されるなら、
その正の約数の個数はn+1個です
たとえばp¹⁴と素因数分解されるなら、
その正の約数の個数は15個です

Nの正の約数が15個なので
15を正の整数の積への分解は
15か3×5の2通りです
前者ならN=p¹⁴だし、後者ならN=p²q⁴です

しかし、Nはいま6の倍数なので、
素因数には2も3もあります
よってN=p¹⁴（素因数がpの1種類）は不適です

moon

素因数の３がだぶっちゃってるから不適になるってことですか？それともp^2q^4
の2のほうがだぶっちゃってるほうですか？

和

質問がよくわからないですね…
だぶる？

Nは6の倍数なので、
N=2ᵃ3ᵇ……(a,bは1,2,3.…)
の形になります
たとえば2⁷3⁸みたいな

でも
N=p¹⁴（素因数がpの1種類）
の形だとN=2¹⁴になるにしろN=3¹⁴になるにしろ
Nは6の倍数、という条件に当てはまらないから
N=p¹⁴の形にはならない、ということです

そうするとN=p²q⁴の形しかありません

moon

理解できました！ご丁寧にありがとうございます🙇