Question

星光

次の問題で下の青い線の移り変わりがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️
それとactionの青線が出てきたら場合分けをするものだと覚えておくのでしょうか？

例題 272 一般項に (-1)" を含む数列の和
1xSm = 1-2°+3° 4' + 5° 62+･･･+(-1)"+1n" を求めよ。
思考プロセス
式を分ける
符号が交互に変わることから2項ずつ組にして考える。
Sn = (12−22) + (32-4) + (526) +......
場合に分ける
最後も組
2
(1-2)+(3-4) +... + (
)+( )+. ...+(
2)
(nが偶数のとき)
2
(nが奇数のとき)
最後余る
Action》 一般項に(-1)” を含む数列は,nの偶奇で場合に分けよ
解 (ア) nが偶数のとき, n=2m (m=1,2,3, ･･･) とおくと
Sn=S2m
= (1−22) + (3-4) + (52-62)
m
+･･･+{(2m-1)-(2m)}
={(2x-1)-(2k)}=
m
= {(2k-1)² - (2k)²} = Σ(−4k+1)
=-4.
½½m(m
k=1
-m(m+1)+m= =-m(2m+1)
n=2mより,m= -n であるから
1
Sn
=
n(n+1)
2
(イ) nが3以上の奇数のとき,
n=2m+1(m = 1, 2, 3, ...) とおくと
Sn=S2m+1= Szm+ (2m+1)
-m(2m+1)+(2m+1)2
=(2m+1)(m+1)
1
n=2m+1より, m= (n-1) であるから
Sn=n{1/(n-1)+1}=1/12n(n+1
n=1 を代入すると1となり, S=12=1に一致する。
nの式で表す。
(ア)の結果を利用する。
S2m を用いるから, nを
3以上の奇数とした。
-m(2m+1) + (2m+1)2
=(2m+1){-m+(2m+1)}
= (2m+1)(m+1)
=
1/(x-1)+1
//{(n-1)+2}
= 1/2(n+1)
このまま答えとしてもよ
1/2(n+1)(nは偶数)
(ア)(イ)より Sn=
1
n(n+1) (nは奇数)
2
い。
すなわち Sn = (−1) "+1. — — n (n+1)
(-1)+1
=
J-1 (nが偶数)
(nが奇数)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「初項から奇数項n=2m+1までの和」は
その1個手前の「初項から偶数項までの和」に
(2m+1)²を足したものになっている
ということです

たとえば「初項〜第5項5²までの和S₅」は
「初項〜第4項までの和S₄」に5²を足したものなので
S₅=S₄+5²です
これを一般化したのがS₂ₘ₊₁=S₂ₘ+(2m+1)²です

actionはふつう押さえるものかと思いますが…
書いてあるとおりであり、
あなたの言うとおりです