a≠0,b≠0,c≠0である。
それぞれ分母を払って、
2a+b=3ck…①
2b+c=3ak…②
2c+a=3bk…③
①+②+③より、
3(a+b+c)=3k(a+b+c)
(a+b+c)(k-1)=0
k=1 or a+b+c=0
(i)k=1のとき
①、②、③を解くと、a=b=c
すなわち
(a,b,c)=(r,r,r) (rは0以外の全ての実数)
となり、(a,b,c)は確かに存在する
(ii)a+b+c=0のとき
a=-b-cを①、②、③に代入して整理すると、
-2c-b=3ck ∴(3k+2)c-b=0…①’
2b+c=-3(b+c)k ∴(3k+2)b+(3k+1)c=0…②’
c-b=3bk ∴(3k+1)b-c=0…③’
①’と②’より、
(3k+2)²c+(3k+1)c=0
c≠0なので、
9k²+15k+5=0
k=(-15±3√5)/2…④
①’と③’より、
(3k+1)(3k+2)c-c=0
c≠0なので、
(3k+1)(3k+2)-1=0
9k²+9k+1=0
k=(-9±3√5)/2…⑤
④と⑤が一致しないから、①’～③’すべてを満たすkは存在しない
以上よりk=1
