Question

ひー

どうして直接eのc乗の極限を求めてはダメなのでしょうか？

1 接線の方程式 199
Think
例題 91
平均値の定理の利用(2)
****
45
sinx
極限値 lim
x-0 x-sin x
を求めよ.
考え方 平均値の定理
f(b)-f(a)
b-a
-=f'(c), a<c<bA を利用できないかを考える.
(証明となり、
x−sinx
b-a
となる.
ここでは,f(x)=e",a=sinx, b=x とおくと, f(a)=esinx, f(b)=e*
ex-esinx f(b)-f(a)
つまり、与えられた式はAの形になる.
このときのとり得る値の範囲はx>0x0 で場合分けが必要である。
このように平均値の定理を利用するには,f(x) をどのような関数とおくか a b をど
このような値とするかを考えるとよい。
大きさの関係が分からない
で
解答 f(x)=e* とおくと、
f(x) は実数全体で連続で,微分可能である.
sin x
✓グラフエ
70として,平均値の定理を用いると,
e-esinx
x−sinx
=f'(c))f(b)(a)
を満たすが、x>0のとき、
第4章
O x x
y=sinx
x< 0 のとき, x<c<sinx
存在する.
f'(x)=e* より,
f'(c)=e
ex-esin x
したがって
-=e²
はさみうち
x−sinx
x→0 のとき, sinx→0
sinx<<
↓
であるから, ①,②より, c0
sinx-0005 026 000 JJ
0 0 0
x<c<sinx
e-esinx
*0x-sin x C→ O
ちなよって,上 lim ==lime²=e=1 4
」と呼ばれている。
となるため, x>0 と
x0 をまとめて考えてい
る.
より、一般化したものとして、「コージ6
Focus
(
平均値の定理の利用
関数f(x) をどうおくか, a, b をどのような値にするか考える
注〉例題 91 では, x>0 と x<0 のときでxと sinxの大小関係が変わっているが
x→0のとき, sinx→0であるため解のようにまとめて考えた.mi-(2)
このようなときは,次のような表現でもよい.
「平均値の定理を用いると
0=(0)\
01030 Jcb
を満た
e-esin x
-=f'(c)
x-sin x
を満たすc が x と sinx の間に存在する」
練習
極限値 lim
91
***
x 0
M
www
tanx-tanx2
を求めよ.
x-x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

x→0のとき、cの極限がどうなるかをまず知らねばならないのです。そのために不等式①②と挟み撃ちの原理を用いているのです。直接e^cの極限を求めるというのは無理な話です。

数学 数学3 微分 平均値の定理 極限 挟み撃ちの原理

ひー

xとcを区別する理由がわからないです。
cもxの一つではないんですか？

フラッグ

申し訳ないですが、
「xとcを区別する」…A
「cもxの一つ」…B
A、Bが何を言っているのか、もう少し説明して頂かないと
返答に窮します。
時間がかかってしまいすみませんm(_ _)m

ひー

xがとりうる値にcが含まれていると思うんですけど、xが0に近づくなら必然的にcが0に近づくってことではないのか？ということです。伝わるでしょうか💦

フラッグ

時間がかかってしまいすみません。
わからなければまたお尋ね下さい。
お手間をおかけしております。

ひー

納得しました！ありがとうございます！

ひー

すみませんもうひとつ。最初の方でx≠0とありますが、それは定義域ということですか？

フラッグ

こちらこそ、わかりにくい回答に最後までついてきてくださり、ありがとうございますm(_ _)m

フラッグ

問題の式を見て下さい。limの下にx→0とありますね。
このx→0とは、「xが、0とは異なる値をとりながら0に
限りなく近づく」という意味です。ゆえに、x≠0なのです。
わかりにくいかもしれませんが、そういうことです。

Answer 2

鯛のお造り

eのc乗(以下e^cと書きます)の極限ではなく、cの極限を求めていることについてでしょうか？
であれば、

x>0のとき、
　e^0 < e^c < e^sinx
x<0のとき、
　e^sinx < e^c <e^0
e^0 = 1、e^sinx→e^0 = 1 (x→0)だから、どちら場合でも、
　e^c = 1

のようにe^cの極限を求めても大丈夫です