Question

めめんと森

式と計算ー恒等式の問題です
黄色の線のところで-1と0は与式の両辺を0にするための数だとわかるのですが1を代入する理由がわかりません。
よろしくお願いします🙇

例題 16 恒等式
等式x+5x2+4x-4=(x+1)+p(x+1)2+q(x+1)+r
がxについての恒等式となるように, 定数, q r の値を定めよ.
考え方 <係数比較法> 右辺を整理してから、両辺の各項の係数を比較する.
<数値代入法>
についての恒等式
****
どんなxの値を代入しても成り立つことを利用する
未知数が3つ(pqr)あるので,xに3つの値を代入する.このとき,代入した後
M
M
の式が計算しやすくなるようなxの値を代入するようにしよう.
また、代入した3つの値以外についても与式が成り立たないといけないので,最後に
係数比較をして確認することを忘れずに.
解答 -1 <係数比較法による解法>
右辺を展開して, xについて整理すると,
(右辺)=x+3x2+3x + 1 + p(x'+2x + 1) + gx +q+r
=x+(p+3)x2+(2p+q+3)x + (p+q+r+1)
となり, 与式は,
x+5x2+4x-4
=x+(p+3)x2+ (2p+q+3)x + (p+g + r + 1)
となる.
これがxについての恒等式なので両辺の係数を比較

解答 -2 <数値代入法による解法>
与式はxについての恒等式だから,x=-1, 0.1を
代入して,
(−1)+5・(-1)+4・(-1)-4=0+p0+g0+r
−4=1³+p·1²+q·1+r
1°+5・1°+4・1−4=2°+p・2°+g・2+r
それぞれを整理して
[r=-4
p+g+r=-5
|4p+2g+r=-2
・①
②
......③
これを解いて, p=2,g=-3,r= -4
逆に,p=2,g=-3,r=-4 のとき,
(右辺)=(x+1)+2(x+1)^-3(x+1)-4
=x³+3x²+3x+1+2(x²+2x+1)-3x-3-4
=x+5x2+4x-4
となり,左辺の式と等しくなるので,与式は恒等式となる.
よって, 求める値は, p=2,g=-3,r=-4
①より ② ③ は
[p+q=-1.②、
4p+2q=2③、
③'は2p+g=1···③
②と③”より,p=2,
g=-3
逆の確認を忘れずに.

恒等式 式と計算

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そもそも何を代入してもいいんです
-1,0,1でなくても、2と5と-8とかでもいいんです
しかし、大きな数や複雑な数を入れると計算が大変だから
なるべく式が簡単になりそうな数を入れます

で、-1を入れたら右辺が簡単になる、
0を入れたら左辺が簡単になる、
あとは何を入れても「式が簡単になるかどうか」で言えば
大差ありません
しかし、なるべく式の値が簡単になるとしたら
1とか-2とかその辺かな、ということで
1を選んでいるのでしょうね

ということで、どうしても1というわけではありません

めめんと森

ご回答ありがとうございます
凄くしっくりきました！
丁寧に説明してくださりありがとうございました🙇