Question

ぷりん

赤で囲ったところを読んでもx＝aのときに極小値をとる理由がわからないので教えて欲しいです！

問題 208 不等式
を求めよ♪
-4ax+6 +9 ≧ 0 がすべての実数xに対して成り立つような定数αの値の範囲
f(x)=x^-4ax + 6a² +9 とおくと
f'(x) = 4x-4a=4(x-a)(x+ax+a)
f'(x) = 0 とおくと x = a
よって, f(x) の増減表は右のようになる。
増減表より, x=α のとき f(x)は最小と
なるから, f(x) ≧ 0 がすべての実数xで
成り立つための条件は f(a) ≧0
x
...
a
...
f'(x)
-
0
+
f(x)
極小
>
ここで
f(a) = a -4a²+6a²+9
=-3a4+6a² +9
よって
-3a^ + 6a² +9≧0
すなわち
a-2a2-3≤0
(a-3)(a²+1) ≤ 0
a2+1>0より
a²-3≤0
x² + ax + a²
3
=(x+1/+12020
a = 0 のときは
f'(x) = 4x3 となり,
x=0 (=α) のとき最小
値となる。
両辺を3で割ったか
ら、不等号の向きが変わ
る。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

　f'(x)=4(x-a)(x²+ax+a²)
ですが、x²+ax+a²は写真右のように常に0以上なので、x-aの部分の正負によってf'(x)の正負が決まります。
　x≦a のとき、x-a≦0　→　f'(x)≦0
　x≧a のとき、x-a≧0　→　f'(x)≧0
aを境にf'(x)の符号が負から正へと変わるので、f(x)はx=aで極小値を取ります

ぷりん

ありがとうございます✨よく分かりました💡