Question

柿の種

高一数学です。
背理法がよくわかりません。背理法の私の解釈は命題が成り立たないということをを証明したら成り立たないだから命題が成り立つね、みたいな感じなんですけどこの二つの問題ってどっちも無理数ってことを証明したいから有理数と仮定して証明した時に有理数になりました。無理数ってことに矛盾するから無理数だよねっていうようにしか見えなくてよくわからないんですけどどういうことですか？言語化上手くできてなくてすみません。

80
基本 例題 44
背理法による証明
00000
(1)α 6 有理数で, 6=0 とする。 √2 が無理数であることを用いて,
la+b√2 が無理数であることを証明せよ。
(2)6が無理数であることを用いて、√2+√3 が無理数であることを証
明せよ。
CHART & SOLUTION
証明の問題
直接がだめなら間接で背理法
与えられた仮定から直接結論へ導くことが困難なときは, 背理法が有効。
背理法で証明する手順
1 仮定はそのままにして (1) では,「√2が無理数である」),
①
p.76 基本事項 71
結論を否定する (1) では, 「a+b√2 は無理数でない」とする)。
5058
2
計算や推論により、矛盾を導く。
(1)では,√2 が有理数の和・差積商の形で表されてしまうという矛盾を導く。
なお,実数は有理数と無理数に分けられるから、無理数であることを否定すると有理数にな
る。
解答
(1)a+b√2 が無理数でないと仮定すると,a+b√2 は有理
数である。 a+b√2 =c (cは有理数) とおくと, 6≠0 から
√2= c-a
b
a,b,cは有理数であるから, c-a
も有理数となり
b
√2 が無理数であることに矛盾する。
ゆえに,a+b√2 は無理数である。
(2)√2+√3 が無理数でないと仮定すると,√2+√3 は
有理数である。 √2+√3=r(rは有理数)とおいて,両
辺を2乗すると 5+2√6 = 2
AB=BC
変形して
√6=12-5
BC
2
rは有理数であるから,
2-5
2
有理数となり√6 が無
理数であることに矛盾する。=9U9
ゆえに、√2+√3 は無理数である。
inf. 有理数の和・・
・商は常に有理数 (p.41)
であるが, 無理数の和・
差・積・商は無理数とは限
らない。 例えば,
(1+√2)+(1-√2)=2
(2+√2)-(1+√2)=1
(1+√2)×(1-√2)=-1
3√2-√2=3
など。
9
6 を導き出すために
両辺を2乗する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

前提:√2は無理数
ーーーーーー
a+b√2が有理数ならば「√2も有理数」←アウト！
↑
じゃあ間違ってんのここやん

という流れです。おそらく、「√2が無理数であることを証明せよ」という問題を過去にやったことがあって、その時は√2について仮定したので、今回の問題で√2とa+b√2のどっちが仮定なのか分からなくなってしまったのかなと思います

Answer 2

にこ

この問題は最初に証明したい無理数を
有理数だと置いたとき、
その数を √2= の形で表したら、分数になってしまい、
問題から√2は無理数である、と分かっているので
√2が無理数であることに矛盾するため、
証明したい数は有理数ではない→無理数である

という証明になるのだと思います！
無理数であると、元々言われているのは√2だけなので
その√2を上手く活用することがコツだと思います！

伝わりましたでしょうか、💦💦