礎問
141 3点が一直線上にある条件
AOAB の辺 OA, OB上に点C,D, OC:CA=1:2
OD:DB=2:1 となるようにとり, ADとBCの交点をEとす
るとき 次の問いに答えよ.
(1) AE:ED=s : (1-s) とおいて, OE を s, OA. OB で表せ
(2) BE:EC=t (1-t) とおいて, OE を t, OA, OB で表せ.
(3) OE OA, OB で表せ.
精講
ベクトルの問題では, 「点= 2直線の交点」 ととらえます。だから問
題文に「交点」という単語があれば,そこに着目して数式に表せばよ
00~+40-
いのですが,このとき, 「3点が一直線上にある条件」 が使われます.
<3点 A, B, C が一直線上にある条件〉
同じ立し
50+70-
I. Aが始点のとき
AC=AB
II. A以外の点□が始点のとき
□C=m□A+nB (ただし, m+n=1)
口のs (1-s), (2) のt: (1-t) のところは
=(1-s) OA+sOB
(2) OE-(1-t)OB+tOČ
(3)
= (1-1)OB+t(OA)
-++-0A+(1-1)OB
WOONE SH
<3点 B, C, Eが直
線上にある条件
QA+0, OB 0, OAXOB
(1)(2)より
t
1-s = 1/1314-1-
3-35=t
..... ①, 4/23s=1-t......②
①×3+② より 3
0
2
1-1-s
D
E1
A
B
-OÉ を2通りに表し
比べる
-ポイント
25:33
7
3s=1
6
S=7
8/17 になる
5-3-37
OE=OA+++OB
OA0, OB=0, OAXOB だから」のところは, 「OA と OB は
1次独立だから」と書いてもかまいません。
(2) を使わずに(1) だけでも答えがだせます.
OE=(1-s)OA+/3sOB=3(1-s)OC+'sOB
3点B, E, Cは一直線上にあるので
3(1-s)+/23s=1
6
とBCの交点をE」という文章を
A, E, D は一直線上にある
B, E, Cは一直線上にある
かえて, II を利用していることになります.
,この手法では同じベクトルを2通りに表し,次の考え方を使います。
1,60,xのとき(このときは1次独立であるといいます)
a+qb=p'a+q'b=p=p', q=q'
解答
ポイント 100,ax のとき
演習問題 141
pã+qb=p'ã+q'b⇒p=p', q=q'
△ABCにおいて,辺AB を2:3に内分する点を D, AC
4:3に内分する点をEとし, 直線 BE と直線 CDの交点をP
