Question

キャベツ

赤枠の部分に関する質問です。なぜこの式でA、Bを通る円だと表すことが出来るのでしょうか

40
40 円x2+y2-2x-9=0 と直線x-y+1=0の2つの交点A,Bを通り,
点 (1, 1) を通る円の方程式を求めよ。
例題
円と直線の交点を通る円
解答を定数として,
k(x-y+1)+(x2+y2-2x-9)=0
①
とすると, ① は, 2点A, B を通る円を表す。
① に x=1,y=1 を代入すると k-9=0
①に代入して整理すると x+y2+7x-9y=0
よって k=9
答
注2つの交点A, B の座標を求めて, 3点A, B, (1, 1) から円の方程式を求
めることもできる。
第3章
図形と

数学ⅱ 図形と方程式

Answer 1

MathLove

束の原理というものです。おそらく教科書にはちゃんと記載があります。YouTubeやその他検索サイトで調べれば分かりやすい説明が出てくるのでぜひ調べて見てください！

キャベツ

kをかけるのは必ず直線の式ですか？それとも円の方程式の方にかけても可能ですか？

MathLove

難しいところですね。kの方程式にかけても答えは求まります。ただ、直線の式にkをかけた場合と円の方程式にkをかけた場合では厳密には異なります。ただそこの厳密性が突かれるような問題は出ないと思います。
補足)今回は円に関する問いですから、直線の式にかけた方が無難です。なぜなら円の方程式にkかけた場合k＝0時、①は円の方程式になっていませんよね？一方直線の式にkをかけてもあらゆるkに対して①は常に円を表します。

MathLove

少し厳密に話すと、本来は実数s，tを用いて
s(直線の式)＋t(円の方程式)＝0・・・②
t＝0の時、②は円を表さない
t≠0の時、②は常に円を表す。
ここでtで②の両辺を割ると
s/t(直線の式)＋(円の方程式)＝0
s/t＝kと置いたものが問題文の①になります。
教科書などでもここの論理を飛躍させて最初からkでやっているのです。