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基本 41 隣接3項の漸化式 (1)
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
0000
P.475 基本事項■
解答
(1) α1=0, a2=1, an+2=an+1+6am
(2) α11=1, a2=2, an+2+40n+1-5an=0
指針 まず+2 をx, anti を x, an を1とおいたxの2次方程式 (特性方程式)。
その2解をα, β とすると, αβのとき
In+1
ants-aan+=(anti-aan) ans. Bana(ann-Bar)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
®
(1) 特性方程式の解はx=-2, 3→解に1を含まないから、 A を用いて2
表し,等比数列{an+1 +2an}, {an+1-3a} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含むから,漸化式は
an+2-Qn+1=-5(4n+1-αn) と変形され, 階差数列を利用することで解決できる。
(1) 漸化式を変形すると
an+2+2an+1=3(an+1+2a)
an+2-3an+1=-2 (an+1-3an)
①,
①より, 数列{an+1+2an} は初項a2+2a1= 1, 公比3の
等比数列であるから
an+1+2an=3n-1
②より, 数列{an+1-3an} は初項α2-3a1= 1, 公比-2
の等比数列であるから an+1-3an=(-2)"-1.
④C
x=x+6を解くと、
(x+2)(x-3)=から
x=-2,3
α-2,B=3として
針の人を利用。
基本
次の
③ ④ から
5an=3"-1-(-2)"-1
したがって
an=
-{3"-1-(-2)"-1}
5
(2) 漸化式を変形すると
an+2-an+1=-5(an+1-an)
で
ゆえに, 数列 {an+1-an} は初項α2-a1=2-1=1, 公比
-5の等比数列であるから an+1-an=(-5)-1
よって, n≧2のとき
k=1
13.
1・{1-(-5)"-1}
1-(-5)
(8-8)-
n-1
an=a+2(-5)=1+
(7-(-5))
n=1 を代入すると, 1/3 (7-(-5)") =1であるから,上の
an+1を消去
x2+4x-5=0を解くと
(x-1)(x+5)=0から
x=1, -5
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=+1+5,
よって+1+5an
=an+50-1
& & &=......= α₂+50
an+1+5a=7 を変形し
7
an+1-
合
式はn=1のときも成り立つ。
したがってan=1/12 (7-(-5)^-'}
an
-
76
7-6
..
a.=(7-(-
an
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