Question

be

この問題がわかりません　γ−α/β−αみたいに分母分子のどちらにもαがあるやつみたいなのはわかるんですけど、この問題みたいに、γ−β/z−αみたいな形のやつは分母分子の両方に共通の文字が出てこないので全くわかりません。γ−α/β−αみたいのはαを中心に回転したんだなあってわかりやすいのですが。

562
基本 例題 124 三角形の垂心を表す複素数
00000
単位円上の異なる3点A(a), B(B), C(y) と,この円上にない点H(z)について、
等式 z=a+βtyが成り立つとき,HはAABCの悪心であることを証明せ
△ABCの垂心がHAH⊥BC, BHICA
重要
]
基本 123 重要 125, 基本121
複素
(1)
す
例えば,AH⊥BC を次のように, 複素数を利用して示す。
AHLBC-B
が純虚数⇔
N-a
Y-B
z-a
-B
+
=0
また, 3点A, B, Cは単位円上にあるから
[w が純虚数 ⇔ w≠0 かつw+w=0 (p.504参照)を利用している。]
指
||=||=||=1⇔ad=BB=yy=1
これと z=a+β+y から得られるz-α=βty を用いて,大をß,yだけの等式に直し
て証明する。
CHART 垂直であることの証明 ABCD⇔
8-r が純虚数
B-a
解答
3点A(a),B(B), C (y) は単位円上にあるから
A(a)
解答
|a|=|B|=||=1
すなわち
|a|=|B|=|v|=1
よって
aa=BB=ry=1
α = 0, β = 0, y≠0であるから
a=1, B = 1
B'
B(B)
H(z)
7cy)
A, B, C, H はすべて異なる点であるから,Y-B ¥0で
z-a
Y-B Y-B Y-B -B -B -B (*)
1|81|y
B+Y
+
Y-BB-Y
B+yy+B
+
+
+
2-a
z-a
βty
βty
B+y
1
Y-B
Y
B
+
=
B+y
1
+
B
=0
よって,
Y-B
は純虚数である。
z-a
ゆえに
AHLBC
| (*) B=1, 7
<指針_
B'
★ の方針。
垂直であるという図形の
条件を, 純虚数であると
いう複素数の条件に 言い
更に等式の条件に
言い換えて示している。
なお,bi が純虚数である
ためには, b≠0 である
ことに注意。
同様にして BHICA
したがって,Hは△ABCの垂心である。
上の式で、αがB,Bが?
③ 124 AD⊥BC であることを示せ。
練習 上の例題において, w=-aßy とおく。 wキαのとき, 点D (w) は単位円上にあり
rがαに入れ替わる
【類 九州大
③

複素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ベクトルがわかれば、
ベクトルを連想してもらうとわかりやすいと感じます

AH⊥BCを示すために
→AH・→BC=0を示します

→AHを90°回転したのが→BC

A(α)、B(β)、C(γ)、H(z)に対して
→AH = OH-OAに対応する複素数はz-α、
→BC = OC-OBに対応する複素数はγ-βだから
z-αを90°回転したのがγ-β

z-αに90°回転を表すr(cos90°+isin90°) = ri (r>0)
を掛けたのがγ-βだから、γ-β = ri(z-α)

(γ-β) / (z-α) = ri

(γ-β) / (z-α)は純虚数
↑これを示せばよい

のような連想です
わかるところは適宜飛ばしてもらえば、
そんなに長々した話ではないと思います