Question

ふく

ここの問題で何故1:2:√3の三角比になるのかわかりません。正三角形が出てるので1/2をして30°を出したのかとも思ったのですが、違うような気がしてどうしたらこの三角形の比をとれるのか教えて欲しいです。

標問 106
[空
半径の球面上に4点 A, B, C, D がある. 四面体 ABCD の各辺の長さ
は,AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている.このとき,
の値を求めよ.
(東京大)

四面体 ABCD の外接球の中心をOとする.
また,三角形 BCDは正三角形であるから,外心
Hは重心と一致する.
O から底面 BCD に引いた垂線と底面の交点をH
とすると, Hは三角形 BCD の外心である.
C
HO
M
H
したがって, 線分 CD の中点をMとすると,Hは
線分BM を2:1に内分する点である。
D
平面 AMB は底面 BCD に垂直であるから,外接
球の中心Oは平面 AMB上にあり, OA=OB (=r)
であるから, 平面 AMB 上において, 0 は線分AB
の垂直二等分線上にある.
A
同様に, BM=√3
ここで, AM は1辺の長さ2の正三角形 ACD の
中線であるから,AM=√3
MH
B
したがって,三角形 AMBは正三角形であるから,
線分ABの垂直二等分線はMを通る.
OH=
-MH
=1/1/31/BM
=
3
r=OB=√OH+HB2
=
=
演習問
(1)+(1/3)
√13
3
三角形OMH は,
TO
OH OM: MH=1:2:3
の直角三角形
点
MBを12に内分する
BM=√3 を代入
•HB = //BM=1313

三角形の外心