Question

すわ

(1)で何故最後にマイナス120をするのかを教えて欲しいです
(2)においても、どうして左辺から傍線部に変形するのかが分からないので教えて欲しいです。

練習 2以上の自然数nに対し,non以外の正の約数の和をS(n) とする。
4 123 (1) S(120) を求めよ。
(2)=2(2-1) (m=2, 3, 4......) とする。 2"-1が素数であるとき, S(n)=nであること
を 1+2+......+2=2-1を使って示せ。
(1)S(120)=(1+2+2+2)(1+3)(1+5)-120=15・4・6-120
=240
(2) 2-1=pとおき, は素数であるとする
2であるから, n=2 の約数の総和は
(1+2+....+2m-1)(1+p)=(2-1) (1+p)
よって
S(n)=(2-1)(1+p)-2-lp
=(2-1)・2"-2"-(2-1)
=(2-1)(2"-2"-1)=2" ' (2"-1)=n
1°041- 20** 1 17
←120=2・3・5
qr (p,a.rが互い
に異なる素数)の正の約
|数の総和は
(1+p+..+p°)(1+g+…+α)
×(1+r+..+y)
←p=2"-1 を代入
←2-2-1
=2.2m-1-2-2-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

すわ様
(1) 問題文に「n 以外の約数」とあるので、120 を除きます。
(2) 因数分解の公式
　(a^n)-(b^n)=(a-b)｛(a^(n-1))+(a^(n-2))b+…+(b^(n-1)))　←n=3 のときは a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
において、n を m にして、a=1 , b=2 を代入すると
　(1^m)-(2^m)=(1-2)｛1+2+…+(2^(m-1))｝
　1ー(2^m)=ー｛1+2+…+(2^(m-1))｝
∴1+2+…+(2^(m-1))=(2^m)ー1　…①
になります。あるいは数学Bを既習ならば、①の左辺は
初項１，公比２，項数ｍの等比数列の和であるから
①の等式が得られます。

すわ

ありがとうございます。
(1)は私の問題文をよく読んでいないせいでした。
(2)においてですが、因数分解の公式は、数ⅠAの範囲でょうか？
また、a=1 n=2を代入するのは、どこから来ていますか？

理解力が乏しく申し訳ありません

Take

すわ様
(2)で用いた因数分解の公式は、教科書にはありませんが、一応数ⅠAです。（これを証明しなさい、であれば数Ⅱかな）
この公式は a^n 形の項の和を求めるときに有効です。また、使用の際には a , b のどちらかを 1 にするのがポイントです。
他の例で a=1 , b=3 とすれば、
1-(3^n)
=(1-3)｛(1+3+3²+…+(3^(n-1))｝
∴1+3+3²+…+(3^(n-1))=｛(3^n)--1｝/2
などとできます。

すわ

そうなんですね！ご丁寧にありがとうございました！